Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau biết rằng tổng các chữ số của mỗi số đó bằng 15 và chữ số hàng trăm bằng trung bình cộng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị

Để giải bài toán này, ta cần tìm các số có 3 chữ số khác nhau, sao cho tổng các chữ số của số đó bằng 15 và chữ số hàng trăm (c) bằng trung bình cộng của chữ số hàng chục (b) và chữ số hàng đơn vị (a). Ta viết lại các điều kiện này dưới dạng phương trình:

1. c + b + a = 15 (tổng các chữ số bằng 15).
2. c = (b + a) / 2 (c là trung bình cộng của b và a).

Từ phương trình 2, ta có thể biểu diễn c như sau:

c = (b + a) / 2 <=> 2c = b + a <=> b + a - 2c = 0.

Bây giờ, ta có thể thay c vào phương trình 1:

b + a = 15 - c.

Khi thay vào, ta có:

b + a = 15 - (b + a)/2.

Để tiện tính toán, ta nhân cả hai vế với 2:

2(b + a) = 30 - (b + a) => 3(b + a) = 30.

=> b + a = 10.

Vậy b + a = 10 và c = (b + a) / 2 = 5.

Vì vậy, c = 5. Ta có thể tìm a và b từ điều kiện này. Do a + b = 10, nên b có thể nhận giá trị từ 0 đến 9 nhưng phải sao cho a và b khác nhau và khác c.

Ta sẽ liệt kê các cặp (a, b) như sau:

- Nếu b = 0 thì a = 10 (không hợp lệ vì a phải là chữ số từ 0 đến 9).
- Nếu b = 1 thì a = 9.
- Nếu b = 2 thì a = 8.
- Nếu b = 3 thì a = 7.
- Nếu b = 4 thì a = 6.
- Nếu b = 5 thì a = 5 (không hợp lệ vì a và b phải khác nhau).
- Nếu b = 6 thì a = 4.
- Nếu b = 7 thì a = 3.
- Nếu b = 8 thì a = 2.
- Nếu b = 9 thì a = 1.

Chúng ta thu được các cặp (a, b) hợp lệ:

1. (9, 1)
2. (8, 2)
3. (7, 3)
4. (6, 4)
5. (4, 6)
6. (3, 7)
7. (2, 8)
8. (1, 9)

Với c = 5, ta sẽ có các số:

- 591 (từ c = 5, a = 9, b = 1)
- 582
- 573
- 564
- 546
- 537
- 528
- 519

Tổng cộng có 8 số. Do đó, số lượng số có 3 chữ số khác nhau thoả mãn yêu cầu là 8.