Cho tam giác ABC. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM gấp rưỡi MB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN bằng một nửa AC. Biết diện tích tam giác AMN là 36 cm2. Tính diện tích tứ giác BMN

Để tính diện tích tứ giác BMN, ta có thể áp dụng mối quan hệ giữa diện tích các phần trong tam giác ABC.

Trước hết, biết rằng diện tích tam giác AMN là 36 cm², chúng ta sẽ phân tích diện tích của các tam giác khác trong tam giác ABC.

1. Trên cạnh AB, M được chọn sao cho AM = 2MB, tức là MB = (1/3)AB và AM = (2/3)AB. Do đó, M chia cạnh AB theo tỷ lệ 2:1.

2. Trên cạnh AC, điểm N được lấy sao cho AN = (1/2)AC, tức là CN = (1/2)AC. Điều này có nghĩa là N chia cạnh AC theo tỷ lệ 1:1.

Bây giờ, cần tính diện tích của tam giác ABC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Mối quan hệ diện tích dựa vào chiều cao từ điểm A xuống cạnh BC.

3. Diện tích tam giác AMN là diện tích của tam giác ABC bị trừ đi diện tích của hai tam giác con: tam giác MBN và tam giác AMC.

4. Tìm diện tích các tam giác MBN và AMC:
- Vì M chia AB theo tỷ lệ 2:1, khi tính diện tích tam giác MBN, ta thấy rằng nó sẽ là một phần ba diện tích của tam giác ABC (tỷ lệ chiều cao từ M so với A).
- Tương tự, điểm N tại cạnh AC cũng chia diện tích trong tỷ lệ 1:1, ảnh hưởng đến chiều cao từ B về cạnh AC.

5. Tổng diện tích các tam giác:
Gọi S_MB và S_AMC lần lượt là diện tích của các tam giác MBN và AMC. Chúng ta có:
S_AMN = S - S_MB - S_AMC

6. Đặt tỷ số diện tích:
Giả sử diện tích tam giác ABC là S. Ta có:
S_AMN = 36 cm²
S_MB + S_AMC = S - 36

7. Tính tứ giác BMN:
Tứ giác BMN được tính bằng diện tích tam giác ABC trừ đi diện tích tam giác AMN:
Diện tích BMN = S - S_AMN = S - 36.

8. Cuối cùng, dựa vào tỉ lệ từ các điểm phân chia, chúng ta nhận ra rằng diện tích của tứ giác BMN có thể tính theo tỷ lệ liên quan đến diện tích AMN. Khi AMN = 36 cm², điều này cho phép suy luận rằng diện tích BMN sẽ bằng 72 cm² (bằng đôi) dựa trên mối quan hệ như trên, tức là:

Diện tích tứ giác BMN = 72 cm².