Cho hai tập hợp A,B tuỳ ý Chứng minh rằng: A∪B = A∪(B/A)

Để chứng minh rằng A ∪ B = A ∪ (B/A), trước tiên chúng ta cần hiểu rõ khái niệm về các phép toán tập hợp, cụ thể là phép hợp (∪) và phép hiệu (/) giữa hai tập hợp.

1. Định nghĩa các ký hiệu:
- A ∪ B là tập hợp gồm tất cả các phần tử thuộc tập A hoặc thuộc tập B hoặc thuộc cả hai.
- B/A là tập hợp các phần tử thuộc B nhưng không thuộc A. Tức là, B/A = {x ∈ B | x ∉ A}.

2. Chứng minh:
- Để chứng minh hai tập hợp A ∪ B và A ∪ (B/A là bằng nhau, chúng ta sẽ chứng minh rằng mỗi tập hợp là con chứa của tập còn lại.

Bước 1: Chứng minh A ∪ B ⊆ A ∪ (B/A):
- Giả sử x ∈ A ∪ B. Có hai trường hợp:
- Nếu x ∈ A, thì x cũng thuộc A ∪ (B/A) (bởi vì x đã thuộc A).
- Nếu x ∈ B, ta có x ∈ B và do đó x có thể thuộc B/A hoặc không. Nếu x ∈ B/A, thì x thuộc A ∪ (B/A). Nếu x không thuộc A (tức là x ∈ B và x ∉ A), thì nó vẫn thuộc (B/A) và do đó x thuộc A ∪ (B/A).
- Vậy từ cả hai trường hợp, ta kết luận rằng x ∈ A ∪ (B/A). Như vậy, A ∪ B ⊆ A ∪ (B/A).

Bước 2: Chứng minh A ∪ (B/A) ⊆ A ∪ B:
- Giả sử x ∈ A ∪ (B/A). Có hai trường hợp:
- Nếu x ∈ A, thì rõ ràng x cũng thuộc A ∪ B.
- Nếu x ∈ B/A, thì có nghĩa là x ∈ B và x ∉ A. Do đó, x cũng thuộc A ∪ B.
- Vậy từ cả hai trường hợp, ta kết luận rằng x ∈ A ∪ B. Như vậy, A ∪ (B/A) ⊆ A ∪ B.

3. Kết luận:
- Từ hai kết quả đã chứng minh ở trên, ta có: A ∪ B ⊆ A ∪ (B/A) và A ∪ (B/A) ⊆ A ∪ B.
- Do đó, A ∪ B = A ∪ (B/A).