tìm giá trị nhỏ nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = (x^2 + 4y)(y^2 + 4x) + 8xy \) với điều kiện \( x + y = 1 \), ta có thể thay thế \( y \) bằng \( 1 - x \).

Bây giờ, biểu thức \( P \) trở thành:

\[
P = (x^2 + 4(1 - x))((1 - x)^2 + 4x) + 8x(1 - x)
\]

Tiến hành tính toán biểu thức trong dấu ngoặc:

1. Tính \( x^2 + 4(1 - x) = x^2 + 4 - 4x = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \).

2. Tính \( (1 - x)^2 + 4x = (1 - 2x + x^2) + 4x = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \).

Vậy \( P \) trở thành:

\[
P = (x - 2)^2 (x + 1)^2 + 8x(1 - x)
\]

Tính \( 8x(1 - x) = 8x - 8x^2 \).

Do đó, ta có:

\[
P = (x - 2)^2 (x + 1)^2 + 8x - 8x^2
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta cần khảo sát trị số này trong khoảng \( [0, 1] \). Đoạn này khá phức tạp, ta có thể sử dụng đạo hàm để tìm cực trị hoặc thử giá trị cụ thể.

1. Nếu \( x = 0 \):
\[
P = (0 - 2)^2(0 + 1)^2 + 8(0) - 8(0)^2 = 4 \cdot 1 + 0 = 4
\]

2. Nếu \( x = 1 \):
\[
P = (1 - 2)^2(1 + 1)^2 + 8(1)(0) - 8(1)^2 = 1 \cdot 4 + 0 - 8 = -4
\]

3. Nếu \( x = \frac{1}{2} \):
\[
P = \left(\frac{1}{2} - 2\right)^2\left(\frac{1}{2} + 1\right)^2 + 8\left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \left(-\frac{3}{2}\right)^2\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 2 = \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{4} + 2 = \frac{81}{16} + 2 = \frac{81 + 32}{16} = \frac{113}{16} \approx 7.0625
\]

So sánh các giá trị:

- \( P(0) = 4 \)
- \( P(1) = -4 \)
- \( P\left(\frac{1}{2}\right) \approx 7.0625 \)

Giá trị nhỏ nhất là \( -4 \) tại \( x = 1 \) và \( y = 0 \).

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( -4 \).