). Cho A = 1+3+3^2+3^3 + ... + 3^2021 a) Chứng minh rằng 2A + 1 là một lũy thừa của 9 b) Tìm chữ số tận cùng của A

a) Để chứng minh rằng 2A + 1 là một lũy thừa của 9, ta bắt đầu tính tổng A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2021. Đây là một chuỗi số học với bội chung 3. Công thức tính tổng của chuỗi hình học là:

A = a * (r^n - 1) / (r - 1)

Trong đó, a là số hạng đầu (1), r là công bội (3), và n là số hạng cuối (2022, do bắt đầu từ 0). Áp dụng vào công thức trên, ta có:

A = 1 * (3^2022 - 1) / (3 - 1) = (3^2022 - 1) / 2

Tiếp theo, ta tính 2A + 1:

2A + 1 = 2 * [(3^2022 - 1) / 2] + 1
= (3^2022 - 1) + 1
= 3^2022

Như vậy, 2A + 1 = 3^2022, và ta biết rằng 3^2 = 9. Do đó:

2A + 1 = (3^2)^{1011} = 9^{1011}

Vậy 2A + 1 là một lũy thừa của 9.

b) Để tìm chữ số tận cùng của A, ta sẽ tính A modulo 10. Đầu tiên, ta tính A = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^2021 modulo 10.

Ta thấy rằng 3^n mod 10 có một chu kỳ lặp lại. Cụ thể:

- 3^0 mod 10 = 1
- 3^1 mod 10 = 3
- 3^2 mod 10 = 9
- 3^3 mod 10 = 7
- 3^4 mod 10 = 1 (lặp lại)

Chu kỳ này dài 4. Do đó, để tính tổng các số hạng trong chuỗi A, ta cần tính số lượng các số hạng trong mỗi nhóm của chu kỳ 4. Đếm số hạng từ 3^0 đến 3^2021, ta có tổng cộng 2022 hạng.

Số bội nhóm đầy đủ trong 2022 hạng là 2022/4 = 505, với phần dư 2. Điều này có nghĩa là trong mỗi nhóm đầy đủ, tổng các hạng sẽ là:

1 + 3 + 9 + 7 = 20 (mod 10) = 0

Do đó, tổng của 505 chu kỳ sẽ cho ra 505 * 0 = 0 (mod 10).

Tiếp theo, ta cần tính 2 hạng dư còn lại:

3^2020, và 3^2021:
- 3^2020 mod 10 = 1 (vì 2020 mod 4 = 0)
- 3^2021 mod 10 = 3 (vì 2021 mod 4 = 1)

Vậy tổng tất cả lại là:

A mod 10 = 0 + 1 + 3 = 4 mod 10.

Vậy chữ số tận cùng của A là 4.