Rút gọn `A=``frac{sqrt[2]cosalpha-2cos(frac{pi}{4}+alpha)}{-sqrt[2]sinalpha+2sin(frac{pi}{4}+alpha)}`

Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sqrt{\cos \alpha} - 2 \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha)}{-\sqrt{\sin \alpha} + 2 \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha)} \), ta cần sử dụng các công thức lượng giác và phương pháp biến đổi.

Trước tiên, ta sẽ áp dụng công thức tổng để tính giá trị của \( \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) \) và \( \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) \):

- \( \cos(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \cos(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha - \sin(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha - \sin \alpha) \)

- \( \sin(\frac{\pi}{4} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{4}) \cos \alpha + \cos(\frac{\pi}{4}) \sin \alpha = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha + \sin \alpha) \)

Bây giờ ta thay thế vào biểu thức \( A \):

\( A = \frac{\sqrt{\cos \alpha} - 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha - \sin \alpha) \right)}{-\sqrt{\sin \alpha} + 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} (\cos \alpha + \sin \alpha) \right)} \)

Tiến hành rút gọn từng phần:

- Tử số:
\( \sqrt{\cos \alpha} - \sqrt{2} (\cos \alpha - \sin \alpha) = \sqrt{\cos \alpha} - \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \)

- Mẫu số:
\( -\sqrt{\sin \alpha} + \sqrt{2} (\cos \alpha + \sin \alpha) = -\sqrt{\sin \alpha} + \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \)

Do đó, ta có:

\( A = \frac{\sqrt{\cos \alpha} - \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha}{-\sqrt{\sin \alpha} + \sqrt{2} \cos \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha} \)

Nếu ta không thể rút gọn thêm nữa, có thể xem xét trường hợp cụ thể hoặc điều kiện giới hạn để rút gọn. Tuy nhiên, để rút gọn hơn, bạn có thể thử các trường hợp cụ thể cho \( \alpha \).

Điều cần lưu ý là biểu thức phụ thuộc vào giá trị của \( \alpha \), và sẽ có các giá trị nhất định cho \( A \) nếu \( \alpha \) có những giá trị nhất định như \( 0 \), \( \frac{\pi}{2} \), hay các góc đặc biệt khác.