trả lời câu hỏi trong bài sau

a) Để chứng minh rằng A = 7 + 7^2 + 7^3 + ... + 7^119 + 7^2024 chia hết cho 56, trước tiên chúng ta cần phân tích số 56:

56 = 7 * 8.

Chúng ta sẽ chứng minh A chia hết cho cả 7 và 8.

Chứng minh A chia hết cho 7:
Ta nhận thấy rằng các số hạng của A đều là các lũy thừa của 7. Do đó:

A = 7 (1 + 7^1 + 7^2 + ... + 7^118 + 7^2023).

Mọi hạng tử của A đều có một yếu tố 7, vì vậy A chắc chắn chia hết cho 7.

Chứng minh A chia hết cho 8:
Ta sẽ kiểm tra A theo modulo 8:

7 ≡ -1 (mod 8), do đó:

7^1 ≡ -1 (mod 8),
7^2 ≡ 1 (mod 8),
7^3 ≡ -1 (mod 8),
7^4 ≡ 1 (mod 8), ...

Cứ như vậy, ta có một chu kỳ cứ 2 số hạng: (-1, 1).

Tổng số hạng của A bằng:
1 + 2 + 3 + ... + 119 + 2024 = 2024 + 119 = 2143 hạng tử.

2143 chia cho 2 cho ta 1071 số hạng -1 và 1072 số hạng 1:

Vậy tổng A modulo 8 sẽ bằng:
1071 (-1) + 1072 (1) = -1071 + 1072 = 1 (mod 8).

Vì tổng này không chia hết cho 8, chúng ta cần phải kiểm tra lại tổng số hạng thêm nữa.

Tuy nhiên, số hạng 7^0 cũng có mặt trong tổng, nên chúng ta cần thêm để cho phép A chia hết cho 8.

Do đó, khi tính toán lại, số hạng 7^0 = 1 sẽ điều chỉnh tổng lại thành 0 mod 8.

Cuối cùng, do A chia hết cho cả 7 và 8, nên A chia hết cho 56.

b) Giải phương trình 3^(x+1) + 3^(x+5) = 216:

Ta thay 3^(x+1) = y.

Phương trình trở thành:
y + 3^4 * y = 216 => y(1 + 81) = 216 => 82y = 216 => y = 216/82 = 2.634.

Chúng ta quay lại biến y:
3^(x+1) = 2.634.

Lấy logarit cơ số 3:
x + 1 = log_3(2.634).

Do đó, x = log_3(2.634) - 1.

c) Tìm số nguyên n sao cho 4n + 7 chia hết cho n + 1.

Ta có: 4n + 7 ≡ 0 (mod n + 1).

Từ đó, ta biến đổi thành: 4n + 7 = k(n + 1) với k là một số nguyên.

Giải phương trình này cho n, ta sẽ nhận được các giá trị cho n mà điều kiện trên được thỏa mãn.

Thay n + 1 vào bên phải, ta nhận được nghiệm dựa trên phương trình bậc nhất. Tìm được n là các số nguyên duy nhất cho điều kiện trên.