Bài 1*: Chứng minh: A = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 22010 chia hết cho 3; và 7. Chứng minh: B = 31 + 32 + 33 + 34 + … + 32010 chia hết cho 4 và 13.

Để chứng minh rằng A = 21 + 22 + 23 + 24 + … + 22010 chia hết cho 3 và 7, trước tiên ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra số dư.

Chứng minh A chia hết cho 3:

Ta có chuỗi số 21, 22, 23, ..., 22010. Để kiểm tra tính chia hết cho 3, ta xem xét số dư của mỗi số này khi chia cho 3.

- 21 mod 3 = 0
- 22 mod 3 = 1
- 23 mod 3 = 2
- 24 mod 3 = 0
- 25 mod 3 = 1
- 26 mod 3 = 2
- ...

Ta thấy rằng cứ 3 số thì có 1 số chia hết cho 3. Từ 21 đến 22010 có tổng cộng 22010 - 21 + 1 = 21990 số. Ta tính số lượng các số chia hết cho 3 trong khoảng này.

Số lượng số nguyên từ 21 đến 22010 là 21990 số. Khi chia cho 3 thì có 1/3 số chia hết cho 3:
21990 / 3 = 7330.

Do đó, tổng các số chia hết cho 3 là 7330 và tất cả các nhóm đều có tổng chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho 3.

Chứng minh A chia hết cho 7:

Tương tự, ta kiểm tra số dư khi chia cho 7:

- 21 mod 7 = 0
- 22 mod 7 = 1
- 23 mod 7 = 2
- 24 mod 7 = 3
- 25 mod 7 = 4
- 26 mod 7 = 5
- 27 mod 7 = 6
- 28 mod 7 = 0
- ...

Cũng với 7, ta thấy cứ 7 số lại có một số chia hết cho 7. Vậy số lượng số chia hết cho 7 từ 21 đến 22010 sẽ là:

21990 / 7 = 3141 (số nguyên), tức là có 3141 số chia hết cho 7.

Mỗi nhóm 7 số sẽ có một số chia hết cho 7, cho nên A cũng chia hết cho 7.

Chứng minh B chia hết cho 4:

Tương tự như với A, giờ ta làm với B = 31 + 32 + 33 + ... + 32010. Chúng ta kiểm tra số dư khi chia cho 4:

- 31 mod 4 = 3
- 32 mod 4 = 0
- 33 mod 4 = 1
- 34 mod 4 = 2
- 35 mod 4 = 3
- 36 mod 4 = 0
- ...

Ta thấy rằng cứ 4 số có 1 số chia hết cho 4. Tổng số phần tử từ 31 đến 32010 cũng là 32010 - 31 + 1 = 31980.

Ta tính số lượng số chia hết cho 4 trong khoảng này:
31980 / 4 = 7995.

Vì vậy, tổng B chia hết cho 4.

Chứng minh B chia hết cho 13:

Kiểm tra số dư:
- 31 mod 13 = 5
- 32 mod 13 = 6
- 33 mod 13 = 7
- 34 mod 13 = 8
- 35 mod 13 = 9
- 36 mod 13 = 10
- 37 mod 13 = 11
- 38 mod 13 = 12
- 39 mod 13 = 0
- ...

Có thể thấy cứ 13 số có 1 số chia hết cho 13. Từ 31 đến 32010 sẽ có:
31980 / 13 = 2460 (số nguyên).

Như vậy, tổng B cũng chia hết cho 13.

Kết luận, A chia hết cho 3 và 7; B chia hết cho 4 và 13.