ý a là bất đảng thức số học với phương pháp làm chặt bất đẳng thức bằng đồng dư, ý b là tổ hợp- đại lượng bất biến.

a) Để chứng minh bất đẳng thức \( a\sqrt{3} > b\sqrt{7} \) dẫn đến \( \sqrt{3}a - b\sqrt{7} > \frac{1}{a+b} \), chúng ta bắt đầu từ giả thiết đã cho.

Chúng ta hãy quy đồng và chuyển b về phía bên phải:
\[ a\sqrt{3} - b\sqrt{7} > 0. \]

Bây giờ, ta lấy \( c = a + b \). Khi đó, ta có:
\[ a = c - b. \]

Thay \( a \) vào bất đẳng thức:
\[ (c - b)\sqrt{3} > b\sqrt{7}. \]

Chuyển các hạng tử lại sẽ có:
\[ c\sqrt{3} > b(\sqrt{3} + \sqrt{7}). \]

Từ đó, ta có:
\[ b < \frac{c\sqrt{3}}{\sqrt{3} + \sqrt{7}}. \]

Tiếp theo, từ bất đẳng thức cơ bản, ta áp dụng điều kiện:
\[ \sqrt{3}a - b\sqrt{7} > \frac{1}{c} \]

b) Để viết lên bảng 2024, ta cần tìm mô hình hoặc một quy trình thay đổi cho hợp số thực. Đầu tiên, ta có thể tìm một số quy tắc hoặc công thức có thể tùy ý thay đổi số sao cho nó vẫn giữ nguyên, nhưng có thể biện soạn đặc biệt.

Giả sử số trên bảng lúc đầu là \( n \). Sau mỗi lần thay đổi, ta thêm vào một số bất kỳ rồi thay thể nó bằng số khác như đã nói. Cuối cùng, những phép biến đổi này vẫn phải đảm bảo rằng kết quả tính toán \( n \) không bao giờ lớn hơn 2024.

Để chắc chắn rằng giá trị cuối cùng không lớn hơn 2024, mỗi lần thay đổi cần phải theo một phương pháp mà tổng số đại lượng biến đổi sau từng bước vẫn giữ nguyên, từ đó số cuối cùng trên bảng vẫn dưới hoặc bằng 2024.

Hy vọng rằng cách thực hiện như trên sẽ đưa ra lý do rõ ràng hơn cho từng phần nn của bài tập này.