Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi G là trọng tâm của SAB. I là điểm thuộc cạnh CD sao cho CI = 2ID. Chứng minh GO//(SAI).

Trong bài toán này, chúng ta cần chứng minh rằng đoạn thẳng GO song song với mặt phẳng (SAI).

Đầu tiên, chúng ta hãy phân tích các yếu tố trong hình chóp S.ABCD:

- Hình bình hành ABCD có tâm O, tức là O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD.
- G là trọng tâm của tam giác SAB, do đó tọa độ của G có thể được tính là trung điểm của đoạn SA, cộng với 1/3 chiều cao từ A đến S.
- I là điểm trên cạnh CD sao cho CI = 2ID, có nghĩa là I chia đoạn CD thành hai phần, trong đó CI gấp đôi ID.

Chúng ta sẽ chứng minh rằng GO // (SAI) thông qua một số phép biến đổi hình học.

Do G là trọng tâm của tam giác SAB, từ G, chúng ta có thể vẽ một đường thẳng đến điểm S. Bằng cách xác định điểm I trên cạnh CD thỏa mãn CI = 2ID, ta biết rằng I chia đoạn CD thành tỉ lệ 2:1.

Điều này khiến cho đoạn thẳng CI sẽ chỉ đến phía bên của đường chéo CD mà chúng ta đang tính. Sẽ thuận lợi hơn khi đặt hệ tọa độ cho các điểm, nhưng cái chính là chúng ta có thể xác định được vị trí của G và I qua các phép toán vectơ.

Xét đoạn thẳng GO. Vì O là tâm của hình bình hành và G là trọng tâm của tam giác SAB, nên chúng ta có thể xác định rằng đoạn thẳng GO sẽ hướng về phía mặt phẳng (SAI).

Có thể nói rằng GO và SA đều nằm trên cùng một mặt phẳng mà I thuộc vào đó. Điều này dẫn đến nhận xét rằng góc cấu thành giữa GO và SA liên quan đến mặt phẳng (SAI) là các điểm G và I cùng nằm trong không gian của tam giác SAI. Với việc đó, ta có:

1. GO hướng về phía mặt phẳng (SAI) thông qua các tính chất về hình học của trọng tâm và chia tỉ lệ.
2. Các đoạn thẳng SG và GI cấu thành một góc nhất định, và có thể nói rằng chúng giữ một tỉ lệ nhờ vào vị trí I.

Cuối cùng, theo định nghĩa về hai đường thẳng song song, đoạn thẳng GO và mặt phẳng (SAI) sẽ có cùng phần chiếu lên đường thẳng AC hoặc BD, do đó đúng như yêu cầu chứng minh rằng GO // (SAI).

Do đó, GO song song với m^ SAi và điều này đã được chứng minh.