Cho n là 1 hợp số , khi phân tích n ra thừa số nguyên tố thì nó chỉ chứa 2 thừa số nguyên tố khác nhau là p1 và p2. Hãy tính số lượng ước của N^2 , biết N^3 có tất cả 40 ước

Để solve bài toán này, trước hết chúng ta cần hiểu ý nghĩa của việc n là một hợp số và nó chỉ có hai thừa số nguyên tố khác nhau p1 và p2. Khi n có dạng n = p1^a * p2^b, với a và b là các số nguyên dương, thì số ước của n được tính bằng công thức:

Số ước của n = (a + 1) * (b + 1)

Bây giờ, khi chúng ta nói N^3 có tất cả 40 ước, ta có thể phân tích N:

Giả sử N = p1^x * p2^y, lúc này:

N^3 = p1^(3x) * p2^(3y)

Số ước của N^3 sẽ là:

Số ước của N^3 = (3x + 1) * (3y + 1)

Theo đề bài, ta biết rằng:

(3x + 1)(3y + 1) = 40

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích số 40 thành các tổ hợp từ 1 và hơn nữa:

40 = 1 * 40
40 = 2 * 20
40 = 4 * 10
40 = 5 * 8

Từ các cặp (t, s) trên, chúng ta sẽ xem xét từng cặp để tìm ra các giá trị của x và y:

- Với cặp (1, 40): Ta có 3x + 1 = 1 nên x = 0, và 3y + 1 = 40, y = 13. Không hợp lý vì x phải lớn hơn 0.
- Với cặp (2, 20): 3x + 1 = 2, x = 0, và 3y + 1 = 20, y = 6. Không hợp lý vì x phải lớn hơn 0.
- Với cặp (4, 10): 3x + 1 = 4, x = 1, và 3y + 1 = 10, y = 3. Hợp lý.
- Với cặp (5, 8): 3x + 1 = 5, x = 1, và 3y + 1 = 8, y = 2. Hợp lý.

Chúng ta có hai tổ hợp hợp lý:

1. x = 1, y = 3
2. x = 1, y = 2

Giờ chúng ta cần tính số ước của N^2. Số ước của N^2 là:

Số ước của N^2 = (2x + 1) * (2y + 1)

Áp dụng cho hai trường hợp:

1. Trường hợp x = 1, y = 3:
Số ước của N^2 = (21 + 1)(23 + 1) = (2 + 1)(6 + 1) = 3 * 7 = 21.

2. Trường hợp x = 1, y = 2:
Số ước của N^2 = (21 + 1)(22 + 1) = (2 + 1)(4 + 1) = 3 * 5 = 15.

Cuối cùng, chúng ta có số ước của N^2 có thể là 21 hoặc 15. Tuy nhiên, chúng ta ưu tiên số ước lớn hơn vì điều này sẽ đảm bảo rằng chúng ta có giải pháp tối ưu cho bài toán. Do đó, số lượng ước của N^2 là 21.