Giải bài tập này hộ mình vs ạ

Câu 1:

Cho a = (-1) và b = (√3 - 5√3).

c̅ = 4j + i.

a) Tìm tọa độ B; c̅.

Khi có c̅ = 4j + i, ta có thể phân tích c̅ thành các thành phần.

c̅ = 0i + 4j + 1i = (1, 4).

Vậy tọa độ B là (1, 4).

b) Tính ||a̅ - 4b̅ + 3c̅||.

Đầu tiên, ta xác định các vectơ a̅, b̅, c̅:

a̅ = (-1, 0).

b̅ = (√3, -5√3).

c̅ = (1, 4).

Bây giờ chúng ta sẽ tính a̅ - 4b̅ + 3c̅:

a̅ - 4b̅ + 3c̅ = (-1, 0) - 4(√3, -5√3) + 3(1, 4).

= (-1, 0) - (4√3, -20√3) + (3, 12).

= (-1 - 4√3 + 3, 0 + 20√3 + 12).

= (2 - 4√3, 20√3 + 12).

Tính độ dài:

||a̅ - 4b̅ + 3c̅|| = √((2 - 4√3)² + (20√3 + 12)²).

Câu 2:

Cho ba điểm A(1; -5), B(x, 3) và C(-1, 7) không thẳng hàng.

a) CM 3 điểm A, D, C không thẳng hàng.

Ba điểm sẽ không thẳng hàng nếu diện tích của tam giác tạo bởi 3 điểm này khác 0. Diện tích tam giác ABC được tính bằng công thức:

S = 0.5 * | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) |.

Thay x1 = 1, y1 = -5; x2 = x, y2 = 3; x3 = -1, y3 = 7 vào công thức:

S = 0.5 * | 1(3 - 7) + x(7 + 5) + (-1)(-5 - 3) |.

S = 0.5 | 1 (-4) + x * 12 + 8 | = 0.

Để ba điểm không thẳng hàng, điều kiện xảy ra là:

-4 + 12x + 8 ≠ 0
=> 12x ≠ -4 - 8
=> 12x ≠ -12
=> x ≠ -1.

Vậy, để 3 điểm A, B, C không thẳng hàng, x phải khác -1.

b) Tìm trung điểm M của đoạn BC.

Tọa độ trung điểm được tính bằng công thức:

M = ((x1 + x2)/2, (y1 + y2)/2).

Với B(x, 3) và C(-1, 7), trung điểm M sẽ có tọa độ:

M = ((x - 1)/2, (3 + 7)/2) = ((x - 1)/2, 5).

c) Tìm trung điểm G của tam giác ABC.

Tọa độ trung điểm G được tính bằng công thức:

G = ((x1 + x2 + x3)/3, (y1 + y2 + y3)/3).

Áp dụng cho A(1, -5), B(x, 3) và C(-1, 7):

G = ((1 + x - 1)/3, (-5 + 3 + 7)/3) = (x/3, 5/3).

d) Tìm tọa độ điểm D để ABCD tạo thành hình bình hành.

Để 4 điểm A, B, C, D tạo thành hình bình hành, có nghĩa là trung điểm của AC phải trùng với trung điểm của BD.

Trung điểm AC là:

((1 - 1)/2, (-5 + 7)/2) = (0, 1).

Trung điểm BD là:

((x - 1)/2, (3 + y)/2).

Giải hệ phương trình:

0 = (x - 1)/2 ⇒ x = 1.

1 = (3 + y)/2 ⇒ y = -1.

Vậy tọa độ điểm D là (1, -1).