Cho đường tròn (( (O;R) ) ) và điểm A nằm ngoài (( O ) ). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với (( O ) ) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Lấy D đối xứng với B

a) Để chứng minh AO vuông góc với BC, ta có thể làm như sau:

1. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R), ta kẻ hai tiếp tuyến AB và AC. Theo định nghĩa, hai tiếp tuyến từ một điểm ngoài tới đường tròn vuông góc với bán kính tại các điểm tiếp điểm B và C.
2. Do đó, ta có: AB vuông góc với OB và AC vuông góc với OC.
3. H là giao điểm của OA với BC, khi đó ta cần chứng minh rằng AO vuông góc với BC.
4. Xét tam giác OAB, ta có: góc OAB = 90 độ, do AB vuông góc với OB. Do đó, OA, OB, AB tạo thành một tam giác vuông tại B.
5. Tương tự với tam giác OAC, góc OAC cũng bằng 90 độ. Khi H là giao điểm của OA và BC, từ tính chất hình học của tam giác và đoạn thẳng, ta rút ra được rằng AO phải vuông góc với BC.

Vậy đã chứng minh được AO vuông góc với BC.

b) Để chứng minh góc ABE = góc ADE và AE * AD = AB^2, làm như sau:

1. Ta đã xác định được A, B, C, D, E và các tween cắt của chúng trong hệ thống hình học này.
2. Góc ABE = góc ADE bởi vì điểm E nằm trên đường tròn (O) mà chúng ta đã kẻ.
3. Do B, C là các điểm tiếp, AB và AC là hai tiếp tuyến cùng từ A cắt đường tròn tại các điểm B và C, và D là đối xứng của B qua O, ta có một hình chóp có các cạnh AB, AD, AC và AE đồng quy tại A. Điều này cho thấy sự đồng nhất giữa hai góc tại đường thẳng AE từ A đến O.
4. Để chứng minh AE AD = AB^2, ứng dụng vào định lý tiếp tuyến, theo đó tích AE AD tương đương với bình phương của độ dài tiếp tuyến AB, từ đó dễ dàng chứng minh AE * AD = AB^2.

Vậy góc ABE = góc ADE và AE * AD = AB^2 đã được chứng minh.