Chứng minh `3n+11` và `3n+2` là `2` số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên `n`

Để chứng minh rằng `3n + 11` và `3n + 2` là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n, chúng ta cần chứng minh rằng ước số chung lớn nhất (ƯSCLN) của hai số này là 1.

Đầu tiên, hãy đặt hai số này là:
- a = `3n + 11`
- b = `3n + 2`

Chúng ta sẽ đi tìm ƯSCLN của a và b. Để làm điều này, ta sử dụng thuật toán Euclid, trong đó ƯSCLN(a, b) = ƯSCLN(b, a mod b).

Tính mod:
```
a mod b = (3n + 11) mod (3n + 2)
= (3n + 11) - k(3n + 2) với k là số nguyên sao cho k(3n + 2) <= (3n + 11).
```
Giải k:
- Khi k = 1:
```
(3n + 11) - 1*(3n + 2) = (3n + 11) - (3n + 2) = 11 - 2 = 9.
```
Vậy a mod b = 9.

Tiếp theo, tiếp tục áp dụng thuật toán Euclid:
```
ƯSCLN(a, b) = ƯSCLN(b, a mod b)
```
Mà b = `3n + 2`, a mod b = 9. Vậy:
```
ƯSCLN(a, b) = ƯSCLN(3n + 2, 9).
```

Chúng ta cần tìm ƯSCLN của `3n + 2` và `9`. Để làm điều này, chúng ta xét từng trường hợp của `n`.

1. Nếu `3n + 2` là chia hết cho `3`, thì ta có:
- `3n + 2 = 3k` với `k` là nguyên, điều này không bao giờ xảy ra vì `3n + 2` luôn có dạng số chẵn lớn hơn 2 (vì n là số nguyên dương), vậy ƯSCLN sẽ là 2.

2. Nếu `3n + 2` không chia hết cho `3`, ta có thể tìm ƯSCLN là 1. Thực tế là `3n + 2` có thể là 1, 2, hoặc những số nguyên tố khác với 3.

Từ trên, `3n + 11` và `3n + 2` không bao giờ chia hết cho `9`, vì vậy ƯSCLN của `3n + 2` và `9` sẽ là 1 (đối với mọi n = 0, 1, 2...).

Kết luận là ƯSCLN(a, b) = ƯSCLN(3n + 11, 3n + 2) = ƯSCLN(3n + 2, 9) = 1, nghĩa là 3n + 11 và 3n + 2 là hai số nguyên tố cùng nhau với mọi số tự nhiên n.