Cho tam giác ABC vuông tại A, có M là trung điểm của BC. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh rằng ADME là hình chữ nhật

Để chứng minh rằng tứ giác ADME là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng:

1. Hai đường chéo AD và ME cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
2. Hai đôi cạnh đối diện của tứ giác này bằng nhau.

Bước 1: Chứng minh rằng hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

- Vì M là trung điểm của BC, nên \(BM = MC\).
- D là trung điểm của AB, nên \(AD = \frac{1}{2}AB\).
- E là trung điểm của AC, nên \(AE = \frac{1}{2}AC\).

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:
- \( \triangle ABD \cong \triangle AEC \) theo tiêu chuẩn SSS (vì \(BD = \frac{1}{2}BC\) và \(EC = \frac{1}{2}BC\), và \(AD = AE\)).

Do đó:
- \(AD = AE\) (vì \( \triangle ABD \cong \triangle AEC \)).

Xét đường chéo ME:
- M là trung điểm của BC nên \(M\) chia BC thành hai đoạn bằng nhau.
- E là trung điểm của AC, nên \(E\) chia AC thành hai đoạn bằng nhau.

Khi vẽ đường chéo ME, ta thấy rằng:
- \(M\) và \(E\) đều là trung điểm của các cạnh của tam giác, do đó, đường chéo ME sẽ cắt đường chéo AD tại trung điểm của cả hai đường chéo này.

Bước 2: Chứng minh hai đôi cạnh đối diện bằng nhau.

- Vì \( \triangle ABD \cong \triangle AEC \), nên:
- \(AD = AE\) (đã chứng minh ở trên).
- \(BD = EC\).

- Đường chéo AD và ME cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó, tứ giác ADME có hai đôi cạnh đối diện bằng nhau: \(AD = AE\) và \(BD = EC\).

Vậy, tứ giác ADME có hai đôi cạnh đối diện bằng nhau và hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm, tức là ADME là hình chữ nhật.