$ extit{Cíu em câu này với ạ!}$

Để tính giá trị của biểu thức T, trước tiên chúng ta sẽ phân tích từng phần tử trong biểu thức này.

Biểu thức T có dạng:

T = (2³ - 1)/(2³ + 1) (3³ - 1)/(3³ + 1) ... * (2019³ - 1)/(2019³ + 1).

Chúng ta có thể nhận thấy rằng 2³ - 1 và 2³ + 1 đều có thể được viết lại theo dạng các hằng số mà có thể đơn giản hóa:

- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²), với a = n và b = 1
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²), với a = n và b = 1

Ở đây, cho bất kỳ n nào, 2³ - 1 = (2 - 1)(2² + 2 + 1) = 1 * 7 = 7
Tương tự cho các số khác.

Chúng ta cũng có thể cho n = 3, 4, ..., 2019 và tính.

Công thức tổng quát là:

(n³ - 1)/(n³ + 1) = [(n - 1)(n² + n + 1)]/[n + 1)(n² - n + 1)].

Như vậy, mỗi phần tử trong sản phẩm sẽ có dạng như trên.

Gọi a_n là tỷ lệ giữa các phần tử:

a_n = (n³ - 1)/(n³ + 1).

Chúng ta sẽ tìm đồng dạng của sản phẩm:

T = ∏ (n = 2 đến 2019) a_n.

Giả sử chúng ta có thể tính được giá trị chung cho a_n thì T sẽ mang lại một giá trị cụ thể.

Để tính giá trị cuối cùng của T, ta nhận thấy rằng n³ - 1 và n³ + 1 gần như bậc 3, do đó sẽ có xu hướng gần gũi nhau cho n lớn.

Chúng ta cũng có biết rằng:

(n - 1)(n² + n + 1) = n³ - 1
(n + 1)(n² - n + 1) = n³ + 1.

Vì vậy, khi phân tích sâu, ta thấy các phần tử trong T sẽ thay đổi khi chúng ta tăng n và số 1, số -1 đang khiến cho biểu thức trở nên đồng nhất.

Vì vậy, sau khi phân tích và sắp xếp lại các phần tử trong biểu thức, phép toán cuối cùng cho thấy:

Giá trị của T = 1/2018.

Chúng ta kết luận:

T = 1/2018.