Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2a$sqrt[]{a}$. Tính tích vô hướng vecto AB. vecto AC, rồi suy ra giá trị góc A

Để giải bài toán này, trước tiên, chúng ta cần xác định các tọa độ của các điểm trong hình vuông ABCD.

Giả sử chúng ta định vị điểm A tại góc trái thấp của hình vuông, thì tọa độ các điểm sẽ như sau:
- A(0, 0)
- B(2a√a, 0)
- C(2a√a, 2a√a)
- D(0, 2a√a)

Bây giờ, chúng ta tính các vecto AB và AC.

1. Tính vecto AB:
Vectơ AB = B - A = (2a√a, 0) - (0, 0) = (2a√a, 0)

2. Tính vecto AC:
Vectơ AC = C - A = (2a√a, 2a√a) - (0, 0) = (2a√a, 2a√a)

Tiếp theo, chúng ta tính tích vô hướng của hai vectơ AB và AC. Tích vô hướng (hay còn gọi là tích độ dài) của hai vectơ u = (u1, u2) và v = (v1, v2) được tính theo công thức: u · v = u1v1 + u2v2.

Tính tích vô hướng vecto AB và vecto AC:
AB · AC = (2a√a, 0) · (2a√a, 2a√a)
= 2a√a 2a√a + 0 2a√a
= 4a^2 * a = 4a^3.

Cuối cùng, từ tích vô hướng này, chúng ta có thể suy ra giá trị của góc A giữa hai vectơ AB và AC.

Góc giữa hai vectơ u và v được tính bằng công thức:
cos(θ) = (u · v) / (||u|| * ||v||)

Trong đó:
- ||u|| là độ dài của vectơ u, ||v|| là độ dài của vectơ v.

Tính độ dài của các vectơ:
- ||AB|| = √((2a√a)² + 0²) = √(4a² * a) = 2a√a.
- ||AC|| = √((2a√a)² + (2a√a)²) = √(4a² a + 4a² a) = √(8a² * a) = 2a√(2a).

Sau đó, tính cos(θ):
cos(θ) = (4a³) / ((2a√a)(2a√(2a))) = (4a³) / (4a²√(2a^2)) = a / √(2a^2) = a / (a√2) = 1/√2.

Vậy, θ = 45 độ (vì cos(45°) = 1/√2).

Vậy giá trị góc A là 45 độ.