Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=x^3-3x-4

Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x^3 - 3x - 4, chúng ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định miền xác định: Hàm số y = x^3 - 3x - 4 là một hàm bậc ba, vì vậy miền xác định của nó là R, tức là từ âm vô cực đến dương vô cực.

2. Tính đạo hàm: Để khảo sát sự biến thiên, chúng ta tính đạo hàm của hàm số:
y' = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x - 1)(x + 1)

3. Tìm các điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0:
3(x - 1)(x + 1) = 0
=> x - 1 = 0 hoặc x + 1 = 0
=> x = 1 hoặc x = -1

4. Xét dấu của đạo hàm: Chúng ta sẽ xét dấu của y' trên các khoảng:
- Khi x < -1: Ta chọn x = -2 -> y'(-2) = 3(-2 - 1)(-2 + 1) = 3(-3)(-1) = 9 > 0 (hàm đồng biến)
- Khi -1 < x < 1: Ta chọn x = 0 -> y'(0) = 3(0 - 1)(0 + 1) = 3(-1)(1) = -3 < 0 (hàm nghịch biến)
- Khi x > 1: Ta chọn x = 2 -> y'(2) = 3(2 - 1)(2 + 1) = 3(1)(3) = 9 > 0 (hàm đồng biến)

Từ đó, ta có được các loại biến thiên của hàm số:
- Hàm số đồng biến trên (-∞, -1)
- Hàm số nghịch biến trên (-1, 1)
- Hàm số đồng biến trên (1, ∞)

5. Tìm giá trị y tại các điểm cực trị:
- Tại x = -1:
y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 4 = -1 + 3 - 4 = -2
- Tại x = 1:
y(1) = (1)^3 - 3(1) - 4 = 1 - 3 - 4 = -6

6. Tính giới hạn khi x tiến tới vô cực:
- lim x→−∞ y = lim x→−∞ (x^3 - 3x - 4) = −∞
- lim x→+∞ y = lim x→+∞ (x^3 - 3x - 4) = +∞

7. Vẽ đồ thị:
- Đồ thị có điểm cực tiểu tại (-1, -2) và cực đại tại (1, -6).
- Đồ thị đi lên từ trái, có cực tiểu tại (-1, -2), sau đó đi xuống đến điểm (1, -6) và lại đi lên đến vô cực.

Tóm lại, đồ thị của hàm số y = x^3 - 3x - 4 có hình dáng như sau: bắt đầu từ âm vô cực, lên đến cực tiểu tại (-1, -2), rồi xuống đến cực đại (1, -6) và sau đó lại tiếp tục đi lên tận cùng dương vô cực.