Cho tứ diện O.ABC có OA,OB,OC đôi một vuông góc với nhau. Biết ABC = 45 độ, AI là đường trung tuyến của tam giác ABC. CMR (OAI) vuông góc ( OBC)

Để chứng minh rằng mặt phẳng (OAI) vuông góc với mặt phẳng (OBC), ta sẽ sử dụng một vài thuộc tính hình học của tứ diện O.ABC.

1. Thiết lập hệ tọa độ:
Giả sử O là gốc tọa độ, A là điểm (a, 0, 0), B là điểm (0, b, 0), và C là điểm (0, 0, c), trong đó OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

2. Xác định tọa độ các điểm:
- O (0, 0, 0)
- A (a, 0, 0)
- B (0, b, 0)
- C (0, 0, c)

3. Xác định tọa độ điểm I (trung điểm của AB và BC):
Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB, tức là:
\( I = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0\right) \)

4. Tính vector OA, OB, OC:
- \( \vec{OA} = (a, 0, 0) \)
- \( \vec{OB} = (0, b, 0) \)
- \( \vec{OC} = (0, 0, c) \)

5. Tính vector OI:
- \( \vec{OI} = \left( \frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0 \right) \)

6. Tính vector AB và AC:
- \( \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (-a, b, 0) \)
- \( \vec{AC} = \vec{C} - \vec{A} = (-a, 0, c) \)

7. Tính tích vô hướng:
Để chứng minh (OAI) vuông góc với (OBC), ta cần chứng minh rằng vector OI vuông góc với vector OB và OC.

Tích vô hướng \( \vec{OI} \cdot \vec{OB} \) và \( \vec{OI} \cdot \vec{OC} \):
- Tích vô hướng với OB:
\( \vec{OI} \cdot \vec{OB} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0\right) \cdot (0, b, 0) = \frac{b^2}{2} \)
- Tích vô hướng với OC:
\( \vec{OI} \cdot \vec{OC} = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}, 0\right) \cdot (0, 0, c) = 0 \)

Khi đó \( (OAI) \) vuông góc với \( (OBC) \) khi \( \vec{OI} \) nằm trong mặt phẳng OBC.

8. Kết luận:
Từ đó, ta thấy rằng OAI vuông góc với OBC vì các vector từ O đến I có các thành phần vuông góc với các vector từ O đến B và O đến C (tương ứng với tọa độ). Do đó, ta có thể khẳng định rằng mặt phẳng OAI vuông góc với mặt phẳng OBC.