SOSSS  Câu 23 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho BN=ND. Kẻ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AD. a) Chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật. b) Chứng minh N là trung

a) Để chứng minh tứ giác APCQ là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh đối diện của nó bằng nhau và đều vuông góc với nhau.

- Xét các đoạn thẳng AP và CQ:
- AP ⊥ BC (theo đề bài) và CQ ⊥ AD (theo đề bài).
- Do đó, góc APQ = 90 độ và góc CQP = 90 độ.

- Tiếp theo, xem xét hai đoạn thẳng AC và BD:
- N là trung điểm của AC, và D nằm trên tia BN sao cho BN = ND, điều này cho thấy BD = AC.

Vì các góc APC và CQB đều vuông góc với nhau và cặp cạnh đối diện AB và CQ bằng nhau, tứ giác APCQ sẽ là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh N là trung điểm của PQ, ta hãy xem xét chiều dài các đoạn thẳng.

- Có AD = DN (do BN = ND) và N là trung điểm của AC. Như vậy, ta có thể xác định chiều dài các đoạn.

- Do AP ⊥ BC và CQ ⊥ AD, khi kẻ đường vuông góc, các điểm P và Q sẽ được định vị đối xứng qua N, nên điều này chứng minh rằng N là trung điểm của PQ.

c) Để tứ giác ABCD là hình vuông, cần thêm điều kiện tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Khi đó, các cạnh AB, AC sẽ kết hợp với chiều dài bằng nhau và tạo thành các góc 90 độ, đảm bảo rằng cả bốn cạnh của tứ giác ABCD đều bằng nhau và góc giữa chúng đều bằng 90 độ.