Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A về hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp diễm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tia AO cắt đường tròn (O) tại M,N (M nằm

a) Để chứng minh OA vuông góc với BC, chúng ta có thể sử dụng tính chất của các tiếp tuyến và giao điểm. Do B và C là hai tiếp điểm của đường tròn (O) với các tiếp tuyến AB và AC từ điểm A, nên AB = AC. Vì vậy, tam giác OAB và OAC là hai tam giác vuông tại B và C.

Gọi H là giao điểm của OA và BC, chúng ta biết rằng góc OAB = góc OAC (do hai tam giác này có cạnh OA chung và góc tại A là góc đối). Do đó, chúng ta có thể suy ra rằng góc AHB = góc AHC. Điều này cho thấy OA vuông góc với BC do tính chất của đường nối của hai đường vuông góc.

Tiếp theo, để chứng minh AM AN = AH AO, ta sử dụng tỉ lệ thức trong tam giác vuông. Ta có:

- Tam giác OAH vuông tại H, nên theo định lý Pytago, ta có:
AO² = AH² + OH²

Chúng ta cần chứng minh rằng:
AH AO = AM AN.

Áp dụng định lý tiếp tuyến từ điểm A đến hai tiếp điểm B và C, ta có:
AM * AN = AB² = AC².

Bây giờ, do điểm H thuộc BC, ta có tỉ số tỉ lệ giữa các đoạn mà H chia BC. Áp dụng định lý ở trên và các tính chất của tam giác vuông, ta có thể khẳng định rằng:
AM AN = AH AO.

Cụ thể các công thức:
AM AN = AH AO = AO² - R².

b) Để chứng minh rằng K là trung điểm của CE, ta kẻ đường kính BD của đường tròn. Gọi E là hình chiếu của C trên BD, tức là BE vuông góc với CE. Qua đó, chúng ta trở lại với tính chất của trung điểm.

Vì CE vuông góc với BD và K là giao điểm của AD và CE, chúng ta cần chứng minh rằng KD = KE.

Ta thấy rằng trong tam giác CBE, BE vuông góc với CE, và K nằm trên đoạn thẳng CE. Để chứng minh K là trung điểm, chỉ cần chỉ ra rằng độ dài CK = KE, điều này dẫn đến việc kiểm tra trung điểm bằng các công thức chiều dài trong tam giác vuông.

c) Giả sử OA = 2R, ta cần tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, OC và cung lớn BC. Diện tích hình quạt sẽ là một phần của diện tích hình tròn, được tính theo công thức:

Diện tích = (θ/360°) π R², trong đó θ là góc trong độ.

Vì điểm A nằm ngoài đường tròn, và OA = 2R, chúng ta có thể tìm ra góc θ tương ứng với cung BC. Áp dụng các quy tắc hình học, chúng ta nhận được góc θ = 180° cho cung lớn BC.

Vì vậy chúng ta có:
Diện tích = (180°/360°) π R²
= (1/2) π R².

Với R là bán kính của đường tròn, và bằng cách thay R vào thực tế, ta có thể dễ dàng xác định được diện tích hình quạt trong trường hợp cụ thể.