Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A về hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp diễm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. Tia AO cắt đường tròn (O) tại M,N (M nằm

a) Để chứng minh OA vuông góc với BC và AM AN = AH AO = AO² - R², trước tiên ta sử dụng tính chất của tiếp tuyến.

- Vì AB và AC là tiếp tuyến của đường tròn (O), nên rất rõ ràng rằng góc AOB và góc AOC đều vuông.
- Tại điểm B và C, hai tiếp tuyến này tạo thành một tam giác AOB và AOC vuông tại B và C.
- Gọi H là giao điểm của OA và BC. Theo định lý đường chéo trong tam giác vuông, ta có thể áp dụng tính chất tỉ lệ:
- AH/AM = AB/AH và AH/AN = AC/AH. Từ đó, ta có AM AN = AH OA.
- Theo định lý Pythagore, trong tam giác OAH vuông tại H, ta có AH² + R² = AO². Do đó, AH = √(AO² - R²), từ đó suy ra AM AN = AH AO = AO² - R².

Vì vậy, OA vuông góc với BC và AM AN = AH AO = AO² - R².

b) Để chứng minh K là trung điểm của CE, sử dụng các tính chất hình chiếu và tam giác vuông.

- Dễ dàng nhận thấy E là hình chiếu của C trên BD, do đó CE vuông góc với BD.
- K là giao điểm của AD và CE. Trong tam giác CDE, vì BD là đường kính, nên góc CED là góc vuông.
- Theo tính chất của tam giác vuông, ta áp dụng định lý về giao điểm đường chéo, để chứng minh K là trung điểm, tức là KE = KC.
- Vì AE = AD nên ta kết luận K là trung điểm của CE.

c) Để tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính OB, OC và cung lớn BC, sử dụng công thức tính diện tích hình quạt.

- Diện tích hình quạt được tính bằng công thức: S = (θ/360) * πR², trong đó θ là góc ở tâm O tương ứng với cung BC.
- Với OA = 2R, vòng tròn có bán kính R, góc θ sẽ là 180 độ (bởi vì BC là cung lớn, trừ đi cung nhỏ sẽ được góc 180 độ).
- Như vậy, diện tích hình quạt S = (180/360) πR² = (1/2) πR².

Tóm lại, các vấn đề đã được giải quyết như trên và dựa trên các tính chất hình học cơ bản.