Một vật `M` được gắn vào đầu lò xo và dao động quanh vị trí cân bằng `I`, biết rằng `O` là hình chiếu vuông góc của `I` trên trục `Ox`, toạ độ điểm `M` trên `Ox` tại thời điểm `t` (giây) là đại lượng `s` (đơn vị: `cm`) được

Để tìm số thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên mà tọa độ của vật M là `s = 4,3 cm`, ta thực hiện các bước sau:

1. Thay s vào công thức dao động:
\[
s = 8,6 \cos(8t + \frac{\pi}{2})
\]
Khi \( s = 4,3 \):
\[
4,3 = 8,6 \cos(8t + \frac{\pi}{2})
\]

2. Chia cả hai vế cho 8,6 để đơn giản hóa:
\[
\frac{4,3}{8,6} = \cos(8t + \frac{\pi}{2})
\]
\[
\cos(8t + \frac{\pi}{2}) = \frac{1}{2}
\]

3. Tìm các giá trị của \(8t + \frac{\pi}{2}\) mà tại đó cosin bằng \(\frac{1}{2}\):
\[
\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \quad \text{và} \quad \cos(\pi - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}
\]
Vậy:
\[
8t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{hoặc} \quad 8t + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi
\]

4. Giải các phương trình để tìm \(t\):
- Với \(8t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\):
\[
8t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
8t = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{1}{8}(-\frac{\pi}{6} + 2k\pi) = \frac{1}{8}(-\frac{\pi}{6}) + \frac{k\pi}{4} = -\frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]

- Với \(8t + \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi\):
\[
8t = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2k\pi
\]
\[
8t = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{1}{8}(\frac{7\pi}{6} + 2k\pi) = \frac{7\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]

5. Tìm các giá trị \(k\) sao cho \(t\) nằm trong khoảng từ 0 đến 2 giây:

- Với \( t = -\frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4} \):
\[
0 \leq -\frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4} \leq 2
\]
\[
\frac{\pi}{48} \leq \frac{k\pi}{4} \leq 2 + \frac{\pi}{48}
\]
\[
\frac{1}{12} \leq k \leq \frac{8 + \pi/24}{4} \approx 2,083
\]
\(k\) có thể là 1, 2.

- Với \( t = \frac{7\pi}{48} + \frac{k\pi}{4} \):
\[
0 \leq \frac{7\pi}{48} + \frac{k\pi}{4} \leq 2
\]
\[
-\frac{7\pi}{48} \leq \frac{k\pi}{4} \leq 2 - \frac{7\pi}{48}
\]
\[
-\frac{7}{12} \leq k \leq \frac{8 - 7\pi/24}{4} \approx 1,417
\]
\(k\) có thể là 0, 1.

6. Kết luận:
Tổng cộng, có 4 thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên mà \(s = 4,3 cm\).

Để tìm các thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên mà tọa độ \( s \) của vật \( M \) bằng 4,3 cm, ta thực hiện các bước sau:

1. Thiết lập phương trình:
\[
s = 8,6 \cos(8t + \frac{\pi}{2}) = 4,3
\]

2. Chuyển đổi phương trình:
\[
8,6 \cos(8t + \frac{\pi}{2}) = 4,3
\]
\[
\cos(8t + \frac{\pi}{2}) = \frac{4,3}{8,6} = \frac{1}{2}
\]

3. Tìm giá trị của góc:
Biết rằng:
\[
\cos \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2}
\]
Do đó:
\[
8t + \frac{\pi}{2} = 2k\pi \pm \frac{\pi}{3}
\]
với \( k \) là số nguyên.

4. Giải phương trình:
\[
8t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
hoặc
\[
8t + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]

Giải từng phương trình:

- Trường hợp 1:
\[
8t + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
8t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2k\pi = \frac{\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{1}{8} \left( \frac{\pi}{6} + 2k\pi \right) = \frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]

- Trường hợp 2:
\[
8t + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi
\]
\[
8t = -\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{2} + 2k\pi = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi
\]
\[
t = \frac{1}{8} \left( -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi \right) = -\frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]

5. Tìm thời điểm trong khoảng 2 giây:
- Với trường hợp 1:
\[
t = \frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]
Ta tìm \( k \) sao cho \( 0 \leq t \leq 2 \):
\[
0 \leq \frac{\pi}{48} + \frac{k\pi}{4} \leq 2
\]
\[
-0,208 \leq k \leq 2,545
\]
\( k \) có thể là 0, 1, 2.

- Với trường hợp 2:
\[
t = -\frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{4}
\]
Ta tìm \( k \) sao cho \( 0 \leq t \leq 2 \):
\[
0,327 \leq k \leq 2,872
\]
\( k \) có thể là 1, 2.

6. Tính giá trị cụ thể:
- Trường hợp 1: \( k = 0, 1, 2 \):
\[
t_1 = \frac{\pi}{48} \approx 0,065 \text{ giây}
\]
\[
t_2 = \frac{5\pi}{48} \approx 0,327 \text{ giây}
\]
\[
t_3 = \frac{9\pi}{48} \approx 0,589 \text{ giây}
\]

- Trường hợp 2: \( k = 1, 2 \):
\[
t_4 = \frac{7\pi}{48} \approx 0,459 \text{ giây}
\]
\[
t_5 = \frac{11\pi}{48} \approx 0,721 \text{ giây}
\]

Như vậy, trong khoảng 2 giây đầu tiên, vật \( M \) có tọa độ \( s = 4,3 \) cm tại 5 thời điểm.