Anh chị giúp em với ạ! Cho các số thực x,y,z thỏa các điều kiện: x²+y²+z²+2x+4y+4=0 và |x+y+z-3| lớn nhất. Tìm giá trị của T=2x+4y+4z A. -10-10√3  B. -10+10√3 C. -6+3√3 D.10-10√3

Để giải bài toán này, ta bắt đầu từ điều kiện đã cho:

x² + y² + z² + 2x + 4y + 4 = 0.

Ta có thể viết lại biểu thức này bằng cách nhóm các hạng tử lại. Nhóm các hạng tử liên quan đến x và y sẽ cho phép ta hoàn thành bình phương:

x² + 2x + y² + 4y + z² + 4 = 0.

Hoàn thành bình phương cho x và y, ta có:

(x² + 2x) = (x + 1)² - 1,
(y² + 4y) = (y + 2)² - 4.

Thay vào biểu thức ban đầu:

(x + 1)² - 1 + (y + 2)² - 4 + z² + 4 = 0,
=> (x + 1)² + (y + 2)² + z² - 1 = 0,
=> (x + 1)² + (y + 2)² + z² = 1.

Biểu thức trên tương đương với việc mô tả một mặt cầu với tâm (-1, -2, 0) và bán kính 1.

Tiếp theo, ta cần tìm giá trị của |x + y + z - 3| lớn nhất. Đặt S = x + y + z, ta cần tìm |S - 3|.

Để tối đa hóa |S - 3|, ta cần tối đa hóa hoặc tối thiểu hóa S. Để làm được điều này, ta có thể viết lại S dựa vào (x + 1) và (y + 2):

S = (x + 1) + (y + 2) + z - 3,
S = (x + 1) + (y + 2) + z - 3 = (u + v + w - 3) với u = x + 1, v = y + 2, w = z.

Như đã nêu, u² + v² + w² = 1 với u = (x + 1), v = (y + 2), z = z. Ta sử dụng hệ thức lượng:

u + v + w = S + 3.

Ta cần tính giá trị lớn nhất của |S - 3|:

1. Để tối thiểu hóa S, ta tối thiểu hóa u + v + w.
2. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

(u + v + w)² ≤ 3(u² + v² + w²) = 3.

Vậy S + 3 có thể nhận giá trị lớn nhất 3, và phần nhỏ nhất là -3.

Như vậy, ta có |S - 3| lớn nhất là:

Tối đa khi S = 3: |3 - 3| = 0,
Tối thiểu khi S = -3: |-3 - 3| = 6.

Với S = -3, ta có thể tìm giá trị tương ứng với z = -3 - (u + v).

Giờ xét giá trị T = 2x + 4y + 4z:

T = 2(x + 1) + 4(y + 2) + 4(z) - 10.

Thay các giá trị tương ứng để tính trên mặt cầu, ta có thể sử dụng các giá trị của u, v, z để tìm:

Cuối cùng xét bốn phương án đã cho, ta có:

Giá trị T tương ứng sẽ là -10 + 10√3 (bằng mẫu cho xét giá trị lớn nhất), từ đó chọn ra giá trị A.

Kết quả cuối cùng là đáp án B: -10 + 10√3.