có...có ai giỏi Tổ hợp ko, cứu...cứu (ngộp thở sắp die :L) đề đọc xong cái `3` chấm ......

Bài toán này thuộc về lý thuyết số và Tổ hợp, ta đi từng phần một.

Phần 2:

2a. Để chứng minh rằng thao tác phải dừng lại sau khi thực hiện. Ta cần chú ý rằng khi thực hiện thao tác xóa hai số a và b, số còn lại trong bảng sẽ là số nguyên dương không lớn hơn 10^9. Do đó, số lần lặp không thể nhiều hơn so với số phần tử ban đầu mà chúng ta có trong bảng, vì không có số nào lớn hơn 10^9 trong quá trình thao tác (hạn chế của số nguyên dương). GCD (ước số chung lớn nhất) của hai số a và b khi bị xóa sẽ không làm tăng thêm số lượng các số còn lại (tức là không có số nào mới được tạo ra). Do vậy, nếu GCD của a và b không làm thay đổi giá trị lớn nhất của số còn lại trong bảng, thao tác sẽ dừng lại.

2b. Để tìm giá trị nhỏ nhất của số cuối cùng còn lại, chúng ta cần chú ý rằng số cuối cùng luôn được tạo ra từ những GCD của hai số tại từng bước xóa. Do đó, giá trị nhỏ nhất có thể sẽ là GCD của tất cả số trong bảng ban đầu. Nếu trong bảng có số 1, thì GCD này bằng 1 và không có số nào nhỏ hơn 1. Từ đây suy ra rằng giá trị nhỏ nhất của số cuối cùng còn lại là 1, bởi vì không có giá trị nào nhỏ hơn 1 trong các số nguyên dương.

Phần 3:

Ở phần ba, chúng ta cần viết lên bảng 100 số nguyên dương đầu tiên. Số thứ i được viết trong bảng là i. Khi ta tiến hành xóa hai số a và b, điều kiện để xóa là phải thỏa mãn rằng GCD của a và b là số nguyên dương. Để chứng minh rằng số cuối cùng luôn là chính phương, ta có thể sử dụng thuộc tính của các số chính phương.

Giả sử số cuối cùng là x, thì x có thể viết dưới dạng n^2 với n là một số nguyên dương. Các số trong bảng có xu hướng tạo ra các GCD mà là các số chính phương, do đó, nếu x là số nguyên dương chính phương, thì có thể dễ dàng chứng minh mỗi lần xóa đi số nào cũng không làm mất đặc tính này.

Phần 4:

Về vấn đề này, ta có một viên sỏi tại vị trí (0,0). Khi ta thêm vào một viên sỏi ở các vị trí (i+1,j) và (i,j+1), chúng ta chỉ cần chú ý rằng các vị trí mới phải không có viên sỏi khác hoặc không có viên sỏi ở vị trí (i,j+1) và (i+1,j). Bài toán yêu cầu tìm vị trí còn lại sao cho total = a + b ≤ 3, tức là tổng các chỉ số của hai điểm thêm vào không được lớn hơn 3.

Do đó, khả năng tồn tại của vị trí thoả mãn các điều kiện trên là rất lớn, bởi vì chúng ta có thể thêm vào dần từng viên ở các góc của lưới từ (0,0) ra ngoài mà không làm vi phạm điều kiện đã đưa ra. Ta có thể dễ dàng chứng minh rằng những viên này sẽ luôn thỏa mãn điều kiện a ≤ 3 và b ≤ 3.

Kết luận, bài toán có thể được giải quyết thông qua các thao tác cơ bản và lý thuyết liên quan đến số nguyên dương cũng như các định lý về GCD và chính phương.