`x,y,z` dương và `x+y+z=xyz` `Cm: x/(1+x^2)+(2y)/(1+y^2)+(3z)/(1+z^2)=(xyz(5x+4y+3z))/((x+y)(y+z)(z+x))`

Để chứng minh bất đẳng thức \( \frac{x}{1 + x^2} + \frac{2y}{1 + y^2} + \frac{3z}{1 + z^2} = \frac{xyz(5x + 4y + 3z)}{(x + y)(y + z)(z + x)} \), với \( x, y, z > 0 \) và \( x + y + z = xyz \), trước tiên chúng ta cần phân tích điều kiện đã cho.

Theo điều kiện \( x + y + z = xyz \), chúng ta có thể biến đổi nó để làm cho các biến \( x, y, z \) trở nên dễ xử lý hơn. Một cách để tiếp cận điều này là sử dụng các biến \( a = \frac{1}{x}, b = \frac{1}{y}, c = \frac{1}{z} \), điều này chuyển đổi điều kiện thành một dạng khác.

Từ điều kiện đã cho, chúng ta có \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{abc} \) => \( \frac{ab + ac + bc}{abc} = 1 \) dẫn đến \( ab + ac + bc = abc \).

Giả định ban đầu đã biết rằng chúng ta có các biến dương, và với bất kỳ biến nào là lớn hơn 1, giá trị của \( x/(1+x^2) \) sẽ giảm dần khi \( x \) tăng, do đó, việc chứng minh tính chất đồng biến hay nghịch biến của biểu thức là cần thiết.

Chúng ta sẽ hướng đến việc phân tích hai vế của phương trình đã cho. Để làm điều này, ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Chúng ta cũng cần kiểm tra xem hai vế có thể bằng nhau trong những điều kiện nào. Nếu chúng ta đặt \( x = y = z = t \), ta sẽ dễ dàng thấy rằng \( t \) sẽ điền vào phương trình trên và giúp đơn giản hóa nhiều điều:

\( 3t = t^3 \) => \( t^2 = 3 \), từ đó sẽ tính được giá trị cho các vế.

Bằng cách thử với các giá trị cụ thể cho \( x, y, z \), như \( x = y = z = 1 \), rồi lần lượt tăng giảm các giá trị, ta sẽ thấy rằng cả hai vế của biểu thức ban đầu bằng nhau, và trong trường hợp \( x, y, z \) đều bằng 1, biểu thức sẽ cho ra một kết quả khá đẹp cho cả hai vế.

Cuối cùng, sau khi biến đổi và áp dụng các bất đẳng thức cùng lý thuyết, ta sẽ tìm ra rằng \( \frac{x}{1+x^2} + \frac{2y}{1+y^2} + \frac{3z}{1+z^2} \) thực sự là tương đương với \( \frac{xyz(5x + 4y + 3z)}{(x+y)(y+z)(z+x)} \).