Thả một quả bóng cao su từ độ cao 50m so với mặt đất, mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/2 độ cao lần rơi trước. Biết rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt đất. Tổng độ dài hành trình

Để tính tổng độ dài hành trình của quả bóng, chúng ta cần xem xét một số yếu tố. Quả bóng được thả từ độ cao 50m và mỗi lần nảy lên lại có độ cao bằng 1/2 độ cao lần rơi trước. Quá trình này diễn ra cho đến khi quả bóng không còn nảy lên nữa.

1. Chiều rơi xuống lần đầu tiên:
- Quả bóng rơi từ độ cao 50m xuống đất, nên chiều dài lần rơi này là 50m.

2. Chiều nảy lên lần đầu tiên:
- Sau khi chạm đất, quả bóng sẽ nảy lên với độ cao bằng 1/2 độ cao lần rơi trước, tức là 1/2 * 50m = 25m.

3. Chiều rơi xuống lần thứ hai:
- Quả bóng lại rơi xuống từ độ cao 25m, nên chiều dài lần rơi này cũng là 25m.

4. Chiều nảy lên lần thứ hai:
- Quả bóng nảy lên với độ cao bằng 1/2 độ cao lần rơi trước đó, tức là 1/2 * 25m = 12.5m.

5. Chiều rơi xuống lần thứ ba:
- Quả bóng lại rơi từ độ cao 12.5m xuống đất, nên chiều dài lần rơi này là 12.5m.

Sau khi nắm được quy luật, có thể thấy chiều cao của mỗi lần nảy lên sẽ giảm dần theo cấp số nhân với tỷ lệ 1/2. Chúng ta có thể lập dãy số cho các chiều cao của các lần nảy lên:

- Lần nảy lên đầu tiên: 50m
- Lần nảy lên thứ hai: 25m
- Lần nảy lên thứ ba: 12.5m
- ...

Dãy này sẽ là: 50, 25, 12.5, ...

Lưu ý rằng cứ mỗi lần nảy lên và rơi xuống đều có chiều dài bằng nhau (cho mỗi cặp lên – xuống), vì vậy chúng ta có thể kết hợp các chiều nảy lên và chiều rơi xuống.

Tổng quãng đường mà quả bóng đã đi được sẽ là tổng của tất cả các chiều rơi và nảy:

- Quá trình nảy lên: 50m (rơi xuống) + 25m (nảy lên) + 25m (rơi xuống) + 12.5m (nảy lên) + 12.5m (rơi xuống) + ...

- Tổng chiều cao nảy lên và chiều rơi xuống:
Tổng quãng đường đi = 50m + (2 * (25 + 12.5 + 6.25 + ...))

6. Tổng dãy số nảy lên (được tính theo công thức tổng của cấp số nhân):
- Với a1 = 25m, và tỷ lệ r = 1/2.
- S = a1 / (1 - r) = 25 / (1 - 1/2) = 25 / (1/2) = 50m.

7. Vậy tổng quãng đường đi của quả bóng là:
Tổng quãng đường = 50m (rơi lần đầu) + 50m (tổng chiều cao của tất cả các lần nảy lên) = 100m.

Cuối cùng, tổng độ dài hành trình của quả bóng được thả là 100m.