Ai giải giúp tôi bài tìm lim với ạ

Bài tập này yêu cầu tìm giới hạn của hai hàm số khác nhau.

1. Giới hạn thứ nhất:
Tính giới hạn:
\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5 - 2x^3 + 4}{2x^5 + x - 1}
\]

Khi x tiến ra vô cùng (x → +∞), ta chỉ cần xét hạng tử bậc cao nhất trong cả tử và mẫu.

Trong tử có hạng tử bậc cao nhất là \(3x^5\) và trong mẫu là \(2x^5\).
Do đó ta có thể rút gọn:

\[
\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^5 - 2x^3 + 4}{2x^5 + x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{2}{x^2} + \frac{4}{x^5}}{2 + \frac{1}{x^4} - \frac{1}{x^5}}
\]

Khi \(x\) tiến đến vô cùng, các hạng tử có \(x\) ở mẫu sẽ tiệm cận về 0, do đó biểu thức sẽ trở thành:

\[
\frac{3 - 0 + 0}{2 + 0 - 0} = \frac{3}{2}
\]

Vậy giới hạn đầu tiên là \(\frac{3}{2}\).

2. Giới hạn thứ hai:
Tính giới hạn:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{3x + 1} - 2}{x^2 - 1}
\]

Khi thay \(x = 1\) vào biểu thức, ta thấy cả tử và mẫu đều bằng 0, tức là dạng không xác định \(\frac{0}{0}\). Do đó, ta cần áp dụng quy tắc L'Hôpital:

Tính đạo hàm của mẫu và tử.
Đạo hàm của tử:
\[
\frac{d}{dx}(\sqrt{3x + 1}) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}
\]
Đạo hàm của mẫu:
\[
\frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x
\]

Bây giờ áp dụng quy tắc L'Hôpital:
\[
\lim_{x \to 1} \frac{\frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}}{2x} = \lim_{x \to 1} \frac{3}{4\sqrt{3x + 1}}
\]

Thay \(x = 1\):
\[
= \frac{3}{4\sqrt{4}} = \frac{3}{8}
\]

Vậy giới hạn thứ hai là \(\frac{3}{8}\).

Tóm lại, các giới hạn đã được tính như sau:
1. \(\frac{3}{2}\)
2. \(\frac{3}{8}\)