Giải giúp tôi với ok

Để tính giới hạn

\[
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 4 + x}}{4x + 8},
\]

trước tiên, ta cần thay giá trị \(x = -2\) vào biểu thức.

Tính phần trong căn:

\[
x^2 + 2x + 4 + x = (-2)^2 + 2(-2) + 4 - 2 = 4 - 4 + 4 - 2 = 2.
\]

Vậy, \(\sqrt{x^2 + 2x + 4 + x}\) khi \(x \to -2\) trở thành \(\sqrt{2}\).

Tiếp theo, tính mẫu số:

\[
4x + 8 = 4(-2) + 8 = -8 + 8 = 0.
\]

Do đó, mẫu số khi \(x \to -2\) là 0. Vì vậy, giới hạn này có dạng \(\frac{\sqrt{2}}{0}\), có thể dẫn đến vô nghiệm.

Để tìm giá trị giới hạn, ta cần phân tích thêm biểu thức này. Ta cố gắng phương pháp phân tích biểu thức:

Biểu thức có thể viết lại dưới dạng:
\[
\frac{\sqrt{x^2 + 2x + 4 + x}}{4(x + 2)}.
\]

Khi \(x \to -2\), niên hạn của mẫu \(4(x + 2)\) sẽ tiệm cận 0. Còn ở phần tử trên, ta có:

Khi \(x\) gần \(-2\), \((x^2 + 2x + 4 + x)\) vẫn dương, vì giá trị trong căn không thể âm khi \(x\) gần \(-2\).

Ta thấy biểu thức tiệm cận vô cùng. Điều đó có nghĩa là:

- Nếu ta tiếp cận từ bên trái (\(x \to -2^{-}\)), giới hạn sẽ tiến tới \(-\infty\).
- Nếu từ bên phải (\(x \to -2^{+}\)), giới hạn sẽ tiến tới \(+\infty\).

Do đó, giới hạn này không tồn tại.

Kết luận, giới hạn

\[
\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x^2 + 2x + 4 + x}}{4x + 8}
\]

không tồn tại.