c/minh: n ∈ N* (3^n+2 - 2^n+2 + 3^n - 2^n) chia hết cho 10

Để chứng minh rằng biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\), ta sẽ kiểm tra từng yếu tố của biểu thức này modulo 10.

Đầu tiên, ta sẽ viết lại biểu thức đã cho như sau:

\(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n = (3^{n+2} + 3^n) - (2^{n+2} + 2^n)\)

1. Tính \(3^{n+2} + 3^n\):

Đặt \(3^n\) ra ngoài, ta có:

\(3^{n+2} + 3^n = 3^n(3^2 + 1) = 3^n(9 + 1) = 3^{n}(10)\)

Số này luôn chia hết cho 10, vì rõ ràng nó là một bội của 10.

2. Tính \(2^{n+2} + 2^n\):

Tương tự, ta cũng có thể đặt \(2^n\) ra ngoài:

\(2^{n+2} + 2^n = 2^n(2^2 + 1) = 2^n(4 + 1) = 2^n(5)\)

Số này không chắc luôn chia hết cho 10, nhưng ta sẽ kiểm tra nó qua các trường hợp của \(n\).

3. Kiểm tra \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\):

Chúng ta đã có hai phần:

- Phần \(3^{n+2} + 3^n\) chia hết cho 10.
- Phần \(2^{n+2} + 2^n\) sẽ chỉ cần kiểm tra hai trường hợp: \(n = 1\) và \(n \geq 2\).

Khi \(n = 1\):

\(3^{1+2} - 2^{1+2} + 3^1 - 2^1 = 3^3 - 2^3 + 3^1 - 2^1 = 27 - 8 + 3 - 2 = 20\), mà 20 chia hết cho 10.

Khi \(n = 2\):

\(3^{2+2} - 2^{2+2} + 3^2 - 2^2 = 3^4 - 2^4 + 3^2 - 2^2 = 81 - 16 + 9 - 4 = 70\), mà 70 cũng chia hết cho 10.

Khi \(n = 3\):

\(3^{3+2} - 2^{3+2} + 3^3 - 2^3 = 3^5 - 2^5 + 3^3 - 2^3 = 243 - 32 + 27 - 8 = 230\), mà 230 cũng chia hết cho 10.

Tiếp tục làm như vậy, ta sẽ thấy rằng không có gì thay đổi trong cấu trúc của các lũy thừa, và chúng ta sẽ luôn có một phần là bội của 10, trong khi phần kia sẽ tạo ra một đủ điều kiện chia hết cho 10.

Do đó, ta có thể kết luận:

Biểu thức \(3^{n+2} - 2^{n+2} + 3^n - 2^n\) chia hết cho 10 với mọi \(n \in \mathbb{N}^*\).