Cho hình vuông ABCD , lấy 1 điểm M bất kì trên cạnh BC (M khác B và C ). qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng DM tại H , kéo dài BH cắt đường thẳng DC tại K a) chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp

a) Để chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp đường tròn, ta sẽ sử dụng tính chất của các góc liên tiếp trên cùng một đường tròn. Ta biết rằng:

- Tứ giác BHCD có các điểm B, H, C, D.
- Xét hai góc BAC và BHC:
- Góc BAC = 90 độ (vì A là vuông của hình vuông ABCD)
- Góc BHC = 90 độ (vì BH vuông góc với DM và DM cắt BC tại M, tạo ra góc vuông tại H)

Từ đó, ta có:
- Góc BAC + góc BHC = 90 độ + 90 độ = 180 độ.

Do đó, tứ giác BHCD có các góc đối nhau cộng lại bằng 180 độ, nên nó nội tiếp đường tròn.

Tâm I của đường tròn này là giao điểm của các đường trung tuyến của các đoạn mà tứ giác BHCD tạo thành, hoặc có thể là điểm đối xứng với độ dài của các hướng từ B đến D và từ H đến C.

b) Để chứng minh KM // DB, ta sẽ sử dụng tính chất của đường thẳng vuông góc. Từ H, ta có BH vuông góc với DM, và đường thẳng BH kéo dài cắt DC tại K. Vì BH vuông góc với DM và K là điểm giao của BH với DC nên góc giữa đoạn thẳng DB và đường thẳng KM bằng 90 độ. Do đó, KM // DB.

c) Để chứng minh KC . KD = KH . KB, ta sử dụng định lý Ptolemy cho tứ giác BHCD. Theo định lý này, nếu một tứ giác nội tiếp đường tròn thì tích các đoạn đối diện sẽ bằng nhau. Cụ thể, ta có:

KC . KD = KH . KB,

điều này xảy ra vì tứ giác BHCD là nội tiếp. Kết hợp với các góc vừa dựng ra trong bài toán thì ta có tính chất của các đoạn thẳng.

d) Giả sử hình vuông ABCD có cạnh a, tâm I xác định nửa hình tròn quay quanh đường kính từ H đến K. Thể tích của hình nửa hình tròn quay tạo ra là thể tích của hình trụ, được tính bằng công thức:

Thể tích = diện tích đáy x chiều cao = πr²h.

Trong trường hợp này, chiều cao h chính là chiều dài cạnh a của hình vuông (vì đây là chiều cao của hình tròn quay), còn bán kính r là khoảng cách từ I đến H (hoặc K), tương đương với một nửa chiều dài cạnh của hình vuông, tức là r = a/2.

Vậy thể tích của nửa hình tròn quay quanh đường kính là:

Thể tích = π(a/2)² a = π(a²/4) a = (π/4) * a³.