giúp mình giải bài này nhé!

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm số tự nhiên n sao cho biểu thức n^2 - n + 2 là số chính phương.

Số chính phương là số mà có thể viết dưới dạng a^2 với a là số nguyên. Do đó, chúng ta cần tìm n sao cho n^2 - n + 2 = k^2 với k là một số nguyên.

Ta sẽ sắp xếp lại phương trình này:
n^2 - n + 2 - k^2 = 0.

Đây là một phương trình bậc hai theo n. Ta sẽ sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để tìm n:
n = [1 ± √(1 - 4(2 - k^2))] / 2 = [1 ± √(4k^2 - 7)] / 2.

Để n là một số tự nhiên, biểu thức bên dưới căn (√) phải là một số chính phương, nghĩa là 4k^2 - 7 phải là một số không âm (≥ 0) và chính phương. Ta sẽ giải phương trình này:

1. Tìm giá trị của k sao cho 4k^2 - 7 ≥ 0:
4k^2 ≥ 7 => k^2 ≥ 7/4 => k ≥ √(7/4) ≈ 1.322.

Vì k là số nguyên, nên k ≥ 2.

2. Tiến hành thử các giá trị của k từ 2 trở đi để xem khi nào 4k^2 - 7 là số chính phương.

Khi k = 2:
4(2^2) - 7 = 16 - 7 = 9 = 3^2.

Với k = 2, ta có:
n = [1 ± √9] / 2 = [1 ± 3] / 2.

Nguyên hàm:
- n = (1 + 3) / 2 = 2
- n = (1 - 3) / 2 = -1 (không thỏa mãn vì n phải là số tự nhiên).

Vậy n = 2.

Kiểm tra:
Khi n = 2, n^2 - n + 2 = 2^2 - 2 + 2 = 4 - 2 + 2 = 4, và 4 là số chính phương (2^2).

Thử với k = 3:
4(3^2) - 7 = 36 - 7 = 29 (không là số chính phương).

Thử với k = 4:
4(4^2) - 7 = 64 - 7 = 57 (không là số chính phương).

Tiếp tục kiểm tra các giá trị k cao hơn, ta sẽ thấy rằng sẽ không có giá trị k nào khác cho ra số chính phương bên trên căn, vì khoảng cách giữa các số chính phương lớn dần.

Kết luận: n = 2 là nghiệm duy nhất trong các số tự nhiên sao cho n^2 - n + 2 là số chính phương.