Thời gian bảo hành của một loại sản phẩm được quy định là 5 năm. Biết tuổi thọ của mỗi sản phẩm là đại lượng ngẫu nhiên tuân theo quy luật phân phối chuẩn với tuổi thọ trung bình là 6,1 năm và độ lệch chuẩn là 0,8 năm.a) Tính

a) Để tính tỷ lệ máy phải bảo hành trong 5 năm, ta sẽ sử dụng quy luật phân phối chuẩn.

Tuổi thọ của sản phẩm tuân theo phân phối chuẩn với trung bình (μ) là 6,1 năm và độ lệch chuẩn (σ) là 0,8 năm. Ta cần tính xác suất để tuổi thọ nhỏ hơn hoặc bằng 5 năm (P(X ≤ 5)).

Đầu tiên, ta chuẩn hóa giá trị 5 năm về z-score bằng công thức:

z = (X - μ) / σ
z = (5 - 6.1) / 0.8
z = -1.375

Sau đó, ta tra bảng phân phối chuẩn để tìm xác suất tương ứng với z = -1.375. Phần lớn các bảng sẽ cho thấy P(Z ≤ -1.375) ≈ 0.084 (hoặc khoảng 8.4%).

Vậy tỷ lệ máy bảo hành của loại sản phẩm này là khoảng 8.4%.

b) Để tính xác suất có không quá 1 sản phẩm phải bảo hành khi bán được 10 sản phẩm trong ngày, ta sẽ sử dụng phân phối nhị thức.

Gọi X là số sản phẩm phải bảo hành trong 10 sản phẩm được bán. X ~ B(n=10, p=0.084), trong đó p là xác suất sản phẩm bị bảo hành.

Ta cần tính P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1).

Công thức mật độ xác suất trong phân phối nhị thức là:

P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)

Với C(n, k) là tổ hợp chập k của n.

1. Tính P(X = 0):

P(X = 0) = C(10, 0) (0.084)^0 (0.916)^10
= 1 1 (0.916)^10
= 0.416

2. Tính P(X = 1):

P(X = 1) = C(10, 1) (0.084)^1 (0.916)^9
= 10 0.084 (0.916)^9
≈ 10 0.084 0.453
≈ 0.380

Cuối cùng, ta cộng lại:

P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) ≈ 0.416 + 0.380 ≈ 0.796.

c) Tại cửa hàng bán được 150 sản phẩm trong 1 tháng, ta cần tính số sản phẩm trung bình phải bảo hành.

Biết tỷ lệ sản phẩm phải bảo hành là 8.4%, vậy số sản phẩm trung bình phải bảo hành trong 150 sản phẩm là:

Số sản phẩm phải bảo hành = 150 * 0.084 ≈ 12.6.

Do đó, trung bình có khoảng 13 sản phẩm mỗi tháng sẽ phải bảo hành (làm tròn lên).