cho tam giác ABC vuông tại A (AC>AB) vuông tại A có AM là đường trung tuyến Gọi D,E là hình chiếu của M trên cạnh AB và AC . a CM tứ giác ADME là hbh b Kẻ đường cao AH của tam giác ABC . tứ giác AHME là hình

a. Để chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng hai cặp cạnh đối diện của tứ giác này song song và có độ dài bằng nhau.

- Xét tứ giác ADME. Điểm M là trung điểm của cạnh BC, do đó AM là trung tuyến trong tam giác ABC. Theo tính chất của đường trung tuyến, ta có M là trung điểm của BC, từ đó suy ra D và E cũng là hình chiếu của M lên các cạnh AB và AC.
- Trong tứ giác ADME, cạnh AD và ME là các cạnh không đồng quy với nhau, nên ta có thể chỉ ra rằng AD // ME và AD = ME (vì cả hai đều là cao từ D đến cạnh AB và từ E đến cạnh AC).
- Tương tự, cạnh AM và DE cũng song song với nhau (AM // DE).
- Vì vậy, với hai cặp cạnh đối diện song song và có độ dài bằng nhau, tứ giác ADME là hình bình hành.

b. Để phân tích tứ giác AHME, chúng ta cần chú ý đến các điểm trong tứ giác này:

- AH là đường cao từ A tới cạnh BC, trong khi M là trung điểm của BC.
- Tứ giác AHME có hai cạnh AM và AH cắt nhau tại M, đồng thời có thể nhận thấy rằng AM chính là bậc cao nhất trong tam giác vuông ABC.
- Vì M là trung điểm của BC và AH là đường cao từ A, nên góc AME sẽ bằng góc AHD, tương tự cho các góc còn lại.
- Điều này cho thấy rằng tứ giác AHME tạo thành một hình chữ nhật, vì nó có bốn góc vuông tại các đỉnh A, H, M, và E.

c. Khi lấy điểm N sao cho M là trung điểm của NE, chúng ta sẽ có N và E nằm đối xứng qua M.

- Khi kẻ EK vuông góc với BC, có nghĩa là EK sẽ cắt cạnh BC một cách vuông góc tại điểm K.
- Như vậy, trong tam giác AKN, M là trung điểm của cạnh NE, và K lại nằm trên BC, cho thấy rằng đường nối A đến N sẽ hợp với cạnh BC một góc thích hợp.
- Đặc biệt, với AM là đường trung tuyến và EK vuông góc với BC, ta thấy rằng ba điểm A, K, N đồng thời tạo thành tam giác AKN vuông tại điểm K, khi có góc AKM = 90 độ.

Tóm lại, các câu hỏi trong bài tập đã cho chúng ta thấy được sự tương quan giữa các đỉnh, hình chiếu và các đường cao, trung tuyến trong tam giác vuông thông qua các định nghĩa hình học cơ bản.