Toán hình lớp 11 ạVẽ hình ra và giải chi tiết

Bài toán yêu cầu chứng minh các mặt phẳng và các đoạn thẳng trong không gian.

a) Để chứng minh rằng hai mặt phẳng \(OAB\) và \(CDEF\) song song với nhau, chúng ta cần chỉ ra rằng chúng không cắt nhau. Một trong những phương pháp là tìm hai vector pháp tuyến của hai mặt phẳng này. Nếu vector pháp tuyến của chúng là song song thì hai mặt phẳng cũng song song.

Cụ thể:
1. Lấy các vectors trong mặt phẳng \(OAB\), ví dụ \(OA\) và \(OB\).
2. Tương tự, lấy các vectors trong mặt phẳng \(CDEF\), ví dụ \(CE\) và \(CF\).
3. Tính vector pháp tuyến cho từng mặt phẳng bằng tích có hướng giữa hai vector đã chọn.
4. Nếu hai vector pháp tuyến này đồng tỷ lệ (có tỉ lệ bằng k), thì hai mặt phẳng \(OAB\) và \(CDEF\) song song.

b) Để chứng minh \(MN\) là đoạn thẳng trung bình của các đoạn thẳng \(AE\) và \(BD\), chúng ta có thể sử dụng cách tính tỉ lệ chiều dài của các đoạn thẳng và các điều kiện để chứng minh rằng chúng cùng chiều dài.

1. Giả sử \(AM = \frac{1}{3} AE\) và \(BN = \frac{1}{3} BD\).
2. Để chứng minh \(MN\) song song với mặt phẳng \(ADF\) và \(BCE\), ta cần xác định các vector vị trí từ các điểm \(M\) và \(N\) tới các điểm còn lại của mặt phẳng.
3. Sử dụng các hệ thức tỉ lệ và vector, có thể chứng minh rằng vector nối từ \(M\) tới \(N\) là song song với các vector của hai mặt phẳng trên.

Bằng cách này, ta sẽ có các chứng minh cần thiết để xác thực rằng tất cả các điều kiện của bài toán đều được đáp ứng.