tìm tất cả các số nguyên x,y thõa mãn x^3+x^2+x+8y=16y^2

Giải phương trình x^3 + x^2 + x + 8y = 16y^2.

Đầu tiên, chúng ta sẽ chuyển phương trình về dạng:

x^3 + x^2 + x + 8y - 16y^2 = 0.

Đây là một phương trình đa thức bậc ba theo biến x. Để tìm nghiệm nguyên của phương trình này, chúng ta có thể áp dụng định lý về các nghiệm nguyên (còn gọi là định lý Bô-đê).

Chúng ta sẽ lần lượt thử các giá trị của y để tìm x tương ứng.

1. Khi y = 0:
Phương trình trở thành:
x^3 + x^2 + x = 0
=> x(x^2 + x + 1) = 0.
Nghiệm ở đây là x = 0, và x^2 + x + 1 = 0 không có nghiệm thực. Vậy nghiệm chỉ có là (0, 0).

2. Khi y = 1:
Phương trình trở thành:
x^3 + x^2 + x + 8 - 16 = 0
=> x^3 + x^2 + x - 8 = 0.
Chúng ta sẽ thử các giá trị nguyên nhỏ:
- Với x = 2:
2^3 + 2^2 + 2 - 8 = 8 + 4 + 2 - 8 = 6 (không thỏa mãn)
- Với x = 1:
1^3 + 1^2 + 1 - 8 = 1 + 1 + 1 - 8 = -5 (không thỏa mãn)
- Với x = 0:
0^3 + 0^2 + 0 - 8 = -8 (không thỏa mãn)
Kết luận là không có nghiệm nguyên cho trường hợp y = 1.

3. Khi y = 2:
Phương trình trở thành:
x^3 + x^2 + x + 16 - 64 = 0
=> x^3 + x^2 + x - 48 = 0.
Thử với các giá trị từ -4 đến 4:
- Với x = 3:
3^3 + 3^2 + 3 - 48 = 27 + 9 + 3 - 48 = -9 (không thỏa mãn)
- Với x = 4:
4^3 + 4^2 + 4 - 48 = 64 + 16 + 4 - 48 = 36 (không thỏa mãn)
- Với x = -4:
(-4)^3 + (-4)^2 + (-4) - 48 = -64 + 16 - 4 - 48 = -100 (không thỏa mãn)
Vậy không có nghiệm cho trường hợp này.

Tiếp tục như vậy cho giá trị y = 3, 4, và cho đến y = 4 cũng không cho ra nghiệm nào.

Khekkhúng ta sẽ tìm đến giá trị âm cho y:

Khi y = -1:
Phương trình trở thành:
x^3 + x^2 + x - 8 + 16 = 0
=> x^3 + x^2 + x + 8 = 0.
Chúng ta có thể thử nghiệm với một số giá trị:
- Với x = -2:
(-2)^3 + (-2)^2 + (-2) + 8 = -8 + 4 - 2 + 8 = 2 (không thỏa mãn)
- Với x = -1:
(-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 8 = -1 + 1 - 1 + 8 = 7 (không thỏa mãn)
- Với x = -3:
(-3)^3 + (-3)^2 + (-3) + 8 = -27 + 9 - 3 + 8 = -13 (không thỏa mãn)

Sau khi thử nghiệm nhiều giá trị y dương và âm, không có giá trị nào tìm được nghiệm nguyên.

Cuối cùng, ta kết luận rằng nghiệm duy nhất của phương trình x^3 + x^2 + x + 8y = 16y^2 là (0, 0).