Tìm m để các hàm số sau có tập xác định là R (hay luôn xác định trên R): $frac{3x+1}{x^{2}+2(m-1)x+m^{2}+3m+5}$

Để hàm số liên hợp $\frac{3x+1}{x^{2}+2(m-1)x+m^{2}+3m+5}$ có tập xác định là R, mẫu số của hàm số phải khác 0 với mọi giá trị của x thuộc R. Điều này có nghĩa là đa thức ở mẫu số $x^{2}+2(m-1)x+m^{2}+3m+5$ phải không có nghiệm thực.

Một đa thức bậc 2 có dạng $ax^2+bx+c$ sẽ không có nghiệm thực nếu và chỉ nếu delta của nó, được tính bằng công thức $\Delta = b^2 - 4ac$, nhỏ hơn 0.

Áp dụng vào trường hợp của chúng ta, với $a = 1$, $b = 2(m-1)$ và $c = m^{2}+3m+5$, delta sẽ là:

$$\Delta = [2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m^2 + 3m + 5)$$

Tính toán delta:

$$\Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 + 3m + 5)$$
$$= 4[(m^2 - 2m + 1) - (m^2 + 3m + 5)]$$
$$= 4[m^2 - 2m + 1 - m^2 - 3m - 5]$$
$$= 4[-5m - 4]$$
$$= -16m - 16$$

Để hàm số có tập xác định là R, ta cần $\Delta < 0$:

$$-16m - 16 < 0$$

Giải bất phương trình này:

$$-16m < 16$$
$$m > -1$$

Do đó, điều kiện để hàm số có tập xác định là R là m phải lớn hơn -1.

Tóm lại, giá trị của m để hàm số luôn xác định trên R là:

$$m > -1$$.