Giải theo vecto............

Để giải bài toán này, đầu tiên chúng ta xác định các tọa độ của các điểm A, B, C và M trong mặt phẳng Oxy.

Tọa độ của các điểm là:
- A(5, 1)
- B(-2, 4)
- C(-1/3, -1/3)
- M(x, y) (với x, y là tọa độ của điểm M mà ta chưa xác định)

Theo đề bài, ta có độ dài MC được cho như sau:
MC = 2√(17)/3.

Ta cần tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 2MA + 4MB.

Bước tiếp theo là tìm độ dài MA và MB:
- MA = √((x - 5)² + (y - 1)²)
- MB = √((x + 2)² + (y - 4)²)

Thiết lập biểu thức P:
P = 2√((x - 5)² + (y - 1)²) + 4√((x + 2)² + (y - 4)²).

Để tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần sử dụng phương pháp lập trình toán học hoặc đạo hàm để tìm cực tiểu của hàm số.

Tuy nhiên, để giải bài toán này một cách hiệu quả hơn, ta có thể sử dụng phương pháp trọng tâm. Xem xét điểm M là một trọng tâm chia đoạn AB theo tỉ lệ 2:4. Ta có thể sử dụng công thức để tìm tọa độ điểm M theo chiều dài đoạn AB.

Tọa độ của M sẽ được tính theo công thức sau:
M = (2B + 4A)/(2 + 4).

Cụ thể:
- Tọa độ M là:
M_x = (2 (-2) + 4 5) / (2 + 4) = ( -4 + 20) / 6 = 16 / 6 = 8/3.
M_y = (2 4 + 4 1) / (2 + 4) = (8 + 4) / 6 = 12 / 6 = 2.

Vậy tọa độ của M là M(8/3, 2).

Tiếp theo, tính MA và MB:
- MA = √((8/3 - 5)² + (2 - 1)²) = √((8/3 - 15/3)² + (1)²) = √((-7/3)² + 1) = √(49/9 + 1) = √(49/9 + 9/9) = √(58/9) = √58 / 3.
- MB = √((8/3 + 2)² + (2 - 4)²) = √((8/3 + 6/3)² + (-2)²) = √((14/3)² + 4) = √(196/9 + 36/9) = √(232/9) = √232 / 3.

Cuối cùng, thay vào biểu thức P:
P = 2MA + 4MB = 2(√58/3) + 4(√232/3) = (2√58 + 4√232) / 3.

Bây giờ chúng ta cần so sánh giá trị P với các giá trị trước đó để tìm giá trị tối thiểu.

Vì vậy, giá trị nhỏ nhất của biểu thức P sẽ phụ thuộc vào tọa độ của M và nếu cần tính giá trị cụ thể hơn, ta có thể sử dụng giá trị đã tính M để rút ra kết quả cuối cùng một cách chính xác. Theo tính toán của chúng ta, giá trị P đã được thiết lập dựa trên các độ dài đã tính, và là một hàm phức tạp, nhưng có thể đạt giá trị nhỏ nhất tại một điểm nhất định trong không gian Oxy.