Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia đối của tia AC lấy D sao cho AD < AC. Nối B với D. CMR: BC > BD

Để chứng minh BC > BD trong tam giác vuông ABC với A là góc vuông, và điểm D nằm trên tia đối của tia AC sao cho AD < AC, ta thực hiện các bước như sau:

1. Xác định các cạnh:
- Gọi độ dài các cạnh của tam giác như sau: AB = c, AC = b, BC = a. Do tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:
a² = b² + c².

2. Vị trí của điểm D:
- D nằm trên tia đối của tia AC, nghĩa là D nằm ở bên ngoài cạnh AC, và AD < AC cho biết điểm D nằm gần A hơn so với điểm C.

3. Xét tam giác ABD:
- Ta sẽ so sánh độ dài BD với BC. Xét tam giác ABD, đây là một tam giác không vuông.

4. Áp dụng định lý tam giác:
- Trong tam giác ABD, ta có: BD + AD > AB (theo bất đẳng thức tam giác). Chúng ta đã biết rằng AD < AC = b và AB = c. Vậy, ta có:
BD + AD > c. Suy ra:
BD > c - AD.

5. So sánh BC với BD:
- Từ tam giác vuông ABD, ta biết rằng BC > AB = c, và từ bước trên, BD < c - AD. Vì AD < AC, thì BD phải nhỏ hơn BC.

6. Tổng kết:
- Do đó, ta có kết luận rằng BC > BD.

Vậy đã rõ rằng BC > BD, điều này cho thấy độ dài của đoạn BC luôn lớn hơn BD trong trường hợp này.