Tìm tập giá trị của biểu thức T= (sqrt{3-x}+sqrt{x+3})

Để tìm tập giá trị của biểu thức T = \(\sqrt{3-x} + \sqrt{x+3}\), trước hết ta cần xác định miền xác định của từng căn trong biểu thức đó.

1. Xác định miền xác định của \(\sqrt{3-x}\):
Để căn bậc hai này có giá trị thực, ta cần:
3 - x ≥ 0
⇒ x ≤ 3

2. Xác định miền xác định của \(\sqrt{x+3}\):
Tương tự, để căn bậc hai này có giá trị thực, ta cần:
x + 3 ≥ 0
⇒ x ≥ -3

3. Kết hợp các điều kiện:
Từ hai điều kiện trên, ta có:
-3 ≤ x ≤ 3

Vậy, miền xác định chung cho T là [-3, 3].

4. Tính giá trị của T tại các đầu mút và nghiên cứu tính chất hàm:
- Tại x = -3:
T(-3) = \(\sqrt{3 - (-3)} + \sqrt{-3 + 3}\) = \(\sqrt{6} + 0 = \sqrt{6}\).
- Tại x = 3:
T(3) = \(\sqrt{3 - 3} + \sqrt{3 + 3}\) = \(0 + \sqrt{6} = \sqrt{6}\).

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của T trên đoạn [-3, 3], ta hãy xem xét T như một hàm liên tục trên đoạn này. Bởi vì T là tổng của hai hàm căn, nên nó sẽ biến đổi liên tục và đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất tại các điểm biên hoặc tại các điểm cực trị (tức là nơi đạo hàm của T bằng 0, nếu có).

5. Tính đạo hàm của T:
Áp dụng quy tắc đạo hàm cho tổng của hai hàm:

T’(x) = \(\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x+3}}\).

Đặt T’(x) = 0 để tìm điểm cực trị:

\(\frac{-1}{2\sqrt{3-x}} + \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = 0\)

Suy ra:

\(\sqrt{x+3} = \sqrt{3-x}\)

Bình phương hai vế:

x + 3 = 3 - x

2x = 0 ⇒ x = 0.

6. Tính giá trị T tại x = 0:
T(0) = \(\sqrt{3 - 0} + \sqrt{0 + 3}\) = \(\sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\).

7. So sánh các giá trị:
Bây giờ ta so sánh các giá trị:
- T(-3) = \(\sqrt{6}\) ≈ 2.45.
- T(3) = \(\sqrt{6}\) ≈ 2.45.
- T(0) = 2\sqrt{3} ≈ 3.46.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của T là \(\sqrt{6}\), và giá trị lớn nhất là \(2\sqrt{3}\).

8. Kết luận:
Tập giá trị của T là \([\sqrt{6}, 2\sqrt{3}]\).