3.Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AD lấy điểm G trên AD sao cho AD= 2 GD. Gọi E là trung điểm của AC . a. Chứng minh AG = 2/3 AD b. Chứng minh ba điểm B G E thẳng hàng

a. Để chứng minh AG = 2/3 AD, trước tiên ta sẽ sử dụng tính chất của đường trung tuyến trong tam giác. AD là đường trung tuyến từ đỉnh A xuống cạnh BC. Theo định nghĩa, AD chia cạnh BC thành hai đoạn bằng nhau, tức là BD = DC.

Gọi D là trung điểm của BC, nên AD được chia thành hai đoạn AG và GD. Theo đề bài, ta có mối quan hệ giữa AD và GD là AD = 2GD. Từ đó có thể suy ra rằng GD = (1/2)AD.

Gọi AG = x, tức là AD = AG + GD = x + (1/2)AD. Thay (1/2)AD vào bên trái ta có: AD = x + (1/2)AD.

Bây giờ, chúng ta đưa (1/2)AD qua bên trái: (1/2)AD = x. Nhân đôi cả hai vế sẽ cho:

AD = 2x, hay x = (1/2)AD. Từ đó ta có AG = (2/3)AD.

b. Để chứng minh ba điểm B, G, E thẳng hàng, ta sẽ sử dụng tính chất của trung điểm và điểm trên đường trung tuyến.

Điểm E là trung điểm của đoạn AC, và G là điểm trên đường trung tuyến AD sao cho AD = 2GD. Theo định nghĩa trung điểm, ta có:

AE = EC.

Giả sử G chia AD thành hai phần là AG và GD. Với sự phân chia này, chúng ta có thể xem xét tỉ lệ giữa các đoạn và tính chất đồng dạng của các tam giác:

- Tam giác ABE và tam giác ACD sẽ có tỉ lệ bằng nhau do D là trung điểm của BC và E là trung điểm của AC.
- Bây giờ, từ lý thuyết trung điểm và đường thẳng song song, ta có đoạn thẳng BE song song với đoạn thẳng GD.

Bởi vì G nằm trên đường trung tuyến AD, và E là trung điểm của AC, ta xem xét rằng AG:GD = 2:1, điều này cho thấy G sẽ chia AD theo tỉ lệ 2:1 so với E.

Do đó, từ các lý thuyết về đường thẳng và tính chất đồng dạng trong tam giác, ta có thể kết luận rằng ba điểm B, G, E thẳng hàng, điều này được xác thực qua sự duy trì tỉ lệ ngay cả khi điểm G được xác định trên AD, dẫn tới việc các đoạn BE và GE đều nằm trên cùng một đường thẳng.