Cho đường tròn (O; R) đường kính BC. Điểm A bất kì nằm trên đường tròn (A khác B, C). Vẽ tiếp tuyến của (O; R) tại A, vẽ hai tiếp tuyến Bx, Cy tại B và C sao cho chúng cắt tiếp tuyến tại A lần lượt tại M,

b) Để chứng minh tam giác OMN đồng dạng với tam giác ABC, ta sẽ sử dụng một số thuộc tính hình học của đường tròn và các tiếp tuyến.

- Đầu tiên, chúng ta biết rằng đường tròn (O; R) có đường kính BC, do đó, ∠BAC là một góc vuông (theo định lý đường kính trong hình tròn).
- Tiếp theo, vì OM là tiếp tuyến tại A và OA là bán kính, nên ∠OAM = 90 độ. Tương tự, ON là tiếp tuyến tại A, nên ∠OAN = 90 độ.
- Do đó, trong tam giác OMN, ta có:
∠OMA = 90 độ
∠ONA = ∠OAN = 90 độ
- Tuy nhiên, từ điểm A, chúng ta cũng có thể thấy rằng ∠OAB = ∠OAC = 90 độ.
- Như vậy, tam giác OMN và tam giác ABC có hai cặp góc vuông giống nhau và cặp góc thứ ba (góc ở A) cũng bằng nhau.

Khi đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), chúng ta có thể kết luận rằng tam giác OMN đồng dạng với tam giác ABC.

c) Để xác định vị trí của điểm A trên đường tròn sao cho AB + $\sqrt{3}$AC đạt giá trị lớn nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp tối ưu hóa.

Gọi O là tâm của đường tròn, R là bán kính của vòng tròn. Ta sẽ đặt B và C tại hai điểm cố định trên đường tròn tương ứng. Khi A di chuyển trên đường tròn, đoạn đường AB và AC sẽ thay đổi. Cách giải bài toán này có thể xem xét sự thay đổi của các đoạn AB và AC theo các tọa độ của các điểm.

Xét một số vị trí của A trên đường tròn với các góc tương ứng. Nếu A cố định, ta có thể biểu diễn các đoạn AB và AC theo các hàm lượng giác:
- AB = R * sin(θ),
- AC = R * sin(θ + α), trong đó θ là góc tạo bởi OA với bán kính OB và α là góc giữa các cạnh AB và AC.

Khi đó, ta cần tối đa hóa biểu thức AB + $\sqrt{3}$AC = R sin(θ) + $\sqrt{3} R sin(θ + α) .

Để tối đa hóa biểu thức này, ta có thể lấy đạo hàm bậc nhất và đặt bằng 0 hoặc sử dụng hình học để tìm các vị trí tối ưu, như khi góc giữa AB và AC là một giá trị cụ thể (như góc 60 độ cho một số tình huống). Qua một vài phép tính và xem xét góc giữa B, C và A, ta có thể xác định được rằng giá trị lớn nhất sẽ xảy ra khi A nằm ở một vị trí cụ thể, thường là tạo thành một hình tứ giác cụ thể trên vòng tròn.

Vị trí của A có thể khá phức tạp và có thể cần nhiều thông số hơn để tính toán chính xác, nhưng thông thường sẽ là góc tạo ba góc đều hoặc điều chỉnh để cho tổng là lớn nhất, có thể tính toán cụ thể cho các vị trí của B, C từ đó suy ra các đoạn tương ứng.