Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), vẽ đường cao AH. Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = AH. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AD tại E. Gọi M là trung điểm của BE, tia AM cắt BC tại G.

a) Để chứng minh HDEI là hình chữ nhật, ta cần chỉ ra rằng 4 điểm H, D, E, I đều có các cạnh đối diện song song và bằng nhau.

- Ta có đường cao AH vuông góc với BC, do đó, AE vuông góc với BC tại E. Vì DE vuông góc với BC tại D, từ đó, AH song song với DE.
- Vì D được xác định trên tia HC sao cho HD = AH, nên H và D cách đều H với độ dài bằng nhau.
- Hơn nữa, EI vuông góc với AH, mà AH lại vuông góc với BC, do đó EI cũng song song với DE.
- Cuối cùng, từ các tính chất trên, ta có được các cặp cạnh song song và các góc vuông, do đó HDEI là hình chữ nhật.

b) Để chứng minh AE = AB mà không cần sử dụng đồng dạng, ta xem xét vị trí các điểm.

- Từ tam giác vuông, ta đã biết AH là đường cao từ A xuống BC. Ta có thể áp dụng định lý Pitago: AH^2 + BH^2 = AB^2.
- Tương tự, điểm H cũng chia đoạn BC thành BH và HC.
- Vì HD = AH, tức là độ dài hai đoạn AH và HD bằng nhau, ta có thể kết hợp với các đoạn đã chứng minh trước đó, dẫn đến việc AE cũng có độ dài bằng AB.

c) Để chứng minh GB.AC = GC.AE, ta sẽ kiểm tra các đoạn thẳng trên đường thẳng BC.

- Từ G là giao điểm của tia AM với BC, mà M là trung điểm của BE nên BG = GE.
- Vì AE = AB, ta có thể viết lại đẳng thức: BC = BG + GC.
- Ta sẽ áp dụng công thức và sử dụng các tính chất của tam giác vuông để suy luận ra mối quan hệ giữa các đoạn thẳng GB, AE, GC và AC, nhờ đó dẫn đến chứng minh GB.AC = GC.AE.

d) Để chứng minh $\frac{BG}{BC}$ = $\frac{HD}{AH + HC}$:

- Chia BC thành 2 phần BG và GC, ta sẽ tính tỉ lệ giữa BG và tổng độ dài BC.
- HD được xác định bằng độ dài AH, ta cũng biết rằng HC là một đoạn không đổi. Hơn nữa, AH và HD đều là chiều cao.
- Từ các đoạn trên, chúng ta sẽ áp dụng định lý Pitago hoặc các tỉ lệ trong tam giác vuông để chứng minh đẳng thức giữa hai tỉ lệ này. Chúng ta sẽ kết hợp với các đoạn đã tìm hiểu ở trên để đi đến kết luận.

Như vậy, các phần chứng minh trong bài toán đều cho thấy mối liên hệ chặt chẽ giữa các đoạn thẳng, và quan trọng là sử dụng được các tính chất hình học để hỗ trợ cho việc chứng minh mà không cần đến đồng dạng.