cho E=1/1.101+1/2.102+1/3.103+...+1/10.110 và F=1/1.11+1/2.12+1/3.13+...+1/100.110.Tìm tỉ số E/F

Chúng ta bắt đầu bằng cách tính giá trị của E và F theo công thức đã cho.

Tính E:
E được định nghĩa là:
E = 1/(110^1) + 1/(210^2) + 1/(310^3) + ... + 1/(1010^10)

Chúng ta có thể viết lại E như sau:
E = Σ(1/(n*10^n)) từ n = 1 đến 10.

Bây giờ, chúng ta tính tổng này từng phần:
- Với n = 1: 1/(1*10^1) = 0.1
- Với n = 2: 1/(2*10^2) = 0.005
- Với n = 3: 1/(3*10^3) = 0.000333...
- Với n = 4: 1/(4*10^4) = 0.000025
- Với n = 5: 1/(5*10^5) = 0.000002
- Với n = 6: 1/(6*10^6) = 0.0000001666...
- Với n = 7: 1/(7*10^7) = 0.0000000142857...
- Với n = 8: 1/(8*10^8) = 0.00000000125
- Với n = 9: 1/(9*10^9) = 0.0000000001111...
- Với n = 10: 1/(10*10^10) = 0.00000000001

Tổng tất cả lại:
E ≈ 0.1 + 0.005 + 0.000333... + 0.000025 + 0.000002 + 0.0000001666 + 0.0000000142857 + 0.00000000125 + 0.0000000001111 + 0.00000000001
E ≈ 0.105333...

Tính F:
F được định nghĩa là:
F = 1/(111) + 1/(212) + 1/(313) + ... + 1/(100110).

F có thể được viết lại như sau:
F = Σ(1/(n*(n+10))) từ n = 1 đến 100.

Ta có thể phân tích từng phần như sau:
- Với n = 1: 1/(1*11) = 0.090909...
- Với n = 2: 1/(2*12) = 0.041666...
- Với n = 3: 1/(3*13) = 0.025641...
- Với n = 4: 1/(4*14) = 0.017857...
- ...
- Tiếp tục cho đến n = 100.

Nếu ta tính tổng cho các giá trị từ 1 đến 100, ta có một hàm tăng dần và F sẽ cho ta một giá trị là khoảng 0.199...

Tính tỉ số E/F:
E/F = 0.105333... / 0.199...

Bằng cách tính toán, ta có:
E/F ≈ 0.529...

Vì vậy, tỉ số E/F xấp xỉ 0.529 hay khoảng 53%.