Câu 20: Mệnh đề nào sau đây đúng A. $exists$x ∈ Z, x²-3x+1=0. B. ∀x ∈ R, x²-3x+2=0. C. $exists$x ∈ R, x²-x-1=0. D. $exists$x ∈ Q, x² = 2.

Để tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ xem xét từng mệnh đề một cách cụ thể.

A. $\exists x \in Z, x^2 - 3x + 1 = 0.$
Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số nguyên (Z) thỏa mãn phương trình bậc hai $x^2 - 3x + 1 = 0$. Để tìm nghiệm của phương trình này, chúng ta tính delta:
Δ = $(-3)^2 - 411 = 9 - 4 = 5$.
Vì Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng công thức nghiệm ta có:
$x = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Cả hai nghiệm này không phải là số nguyên (không phải là Z). Do đó, mệnh đề A sai.

B. ∀x ∈ R, x² - 3x + 2 = 0.
Mệnh đề này nói rằng với mọi số thực (R), phương trình $x^2 - 3x + 2 = 0$ đều đúng. Chúng ta khảo sát phương trình này:
Δ = $(-3)^2 - 412 = 9 - 8 = 1$.
Phương trình có hai nghiệm là $x = 1$ và $x = 2$. Rõ ràng không phải mọi số thực x đều thỏa mãn phương trình này, mà chỉ có hai giá trị duy nhất là 1 và 2. Vì vậy, mệnh đề B cũng sai.

C. $\exists x \in R, x^2 - x - 1 = 0.$
Mệnh đề này nói rằng tồn tại ít nhất một số thực (R) thỏa mãn phương trình này. Tính delta:
Δ = $(-1)^2 - 41(-1) = 1 + 4 = 5 > 0$.
Với Δ dương, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng công thức nghiệm, ta được:
$x = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
Cả hai nghiệm này đều là số thực. Do đó, mệnh đề C là đúng.

D. $\exists x \in Q, x^2 = 2.$
Mệnh đề này nói rằng tồn tại một số hữu tỉ (Q) mà bình phương của nó bằng 2. Cần lưu ý rằng không có số hữu tỉ nào thỏa mãn phương trình này. Nghiệm của phương trình $x^2 = 2$ là $\sqrt{2}$, và $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ. Vì vậy, mệnh đề D sai.

Kết luận: Mệnh đề đúng duy nhất là mệnh đề C.