cách tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất  của biểu thức chứa căn và chứa giá trị tuyệt đối

Để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của một biểu thức chứa căn và giá trị tuyệt đối, chúng ta có thể tuân theo các bước sau:

1. Phân tích biểu thức: Xác định rõ các thành phần trong biểu thức như căn bậc hai, giá trị tuyệt đối và các hằng số. Sự phân tích này giúp ta nắm rõ các điều kiện cần thiết cho biểu thức đó.

2. Xác định miền xác định: Đối với biểu thức chứa căn, cần xác định miền mà trong đó biểu thức là xác định, tức là đảm bảo rằng các giá trị bên trong căn không âm. Đối với giá trị tuyệt đối, bạn cần hiểu cách thức giá trị tuyệt đối hoạt động và nó ảnh hưởng đến biểu thức như thế nào.

3. Xét các trường hợp: Nếu biểu thức chứa giá trị tuyệt đối, có thể cần chia thành các trường hợp khác nhau tùy thuộc vào dấu của biểu thức bên trong giá trị tuyệt đối. Những biến đổi này giúp ta có thể làm việc với các biểu thức không chứa giá trị tuyệt đối, do đó dễ tính toán hơn.

4. Tìm cực trị: Sử dụng các phương pháp như đạo hàm (nếu biểu thức là liên tục và khả vi trong miền xác định) để tìm các điểm cực trị. Tính đạo hàm của biểu thức và tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0 (các điểm nghi ngờ). Xem xét các đầu miền để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

5. So sánh các giá trị: Sau khi có được các giá trị từ các điểm cực trị và từ các đầu miền, so sánh chúng để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.

6. Kiểm tra lại: Một bước quan trọng là kiểm tra lại các giá trị tìm được và xác định xem chúng có thỏa mãn các điều kiện ban đầu của bài toán hay không.

Ví dụ cụ thể: Giả sử có biểu thức f(x) = √(x - 1) + |x + 2|.

- Miền xác định của căn bậc hai là x ≥ 1.
- Đối với giá trị tuyệt đối, chia thành các trường hợp:
- Nếu x ≥ -2, |x + 2| = x + 2.
- Nếu x < -2, |x + 2| = -(x + 2) = -x - 2.

Từ đó, ta có thể hình thành các biểu thức khác nhau trong từng miền và tiếp tục sử dụng các bước trên để tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất cho f(x).

Bằng cách này, người học có thể tính toán và tìm được các giá trị cực trị của biểu thức chứa căn bậc hai và giá trị tuyệt đối một cách hệ thống và chính xác.