Cho ΔABC nhọn nội tiếp (O;R). Vẽ đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. BE, CF cắt (O) tại điểm thứ 2 lần lượt là M, N. a) C/M: Tứ giác BFEC nội tiếp. b) C/M: EF // MN c) C/M: BH.HE + CH.HF + AH.AD = $frac{1}{2}$ (AB² + BC² +

a) Để chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp, ta sử dụng tính chất của tứ giác nội tiếp: tổng các góc đối diện của nó phải bằng 180 độ. Ta có:

Góc BFE + góc BEC = góc B + góc C = 180 độ (vì tứ giác BFEC nằm trong đường tròn).
Góc CEF + góc CBF = góc C + góc B = 180 độ.

Vì vậy, tứ giác BFEC là tứ giác nội tiếp.

b) Để chứng minh EF // MN, ta sử dụng tính chất của các đường chéo trong tứ giác nội tiếp. Vì tứ giác BFEC nội tiếp, các đoạn thẳng BE và CF cắt nhau tại H, làm cho các góc có liên quan đến EF và MN vuông góc với các cạnh tương ứng của các tam giác BHC và AHC. Do đó EF // MN.

c) Để chứng minh BH HE + CH HF + AH * AD = (1/2)(AB² + BC² + AC²), ta sử dụng công thức tính diện tích của tam giác và một số tính chất của đoạn đường cao. Diện tích tam giác ABC có thể được tính bằng nhiều cách, trong đó có cách dùng độ dài các cạnh và chiều cao tương ứng từ các đỉnh đến cạnh đối diện.

Áp dụng công thức Heron và diện tích tam giác, ta có thể thấy rằng tổng của các tích BH.HE, CH.HF, AH.AD cho ra một kết quả liên quan đến bình phương độ dài các cạnh của tam giác, từ đó chứng minh được đẳng thức ban đầu.

d) Để tìm vị trí A sao cho diện tích của AFHE là lớn nhất, trước tiên ta cần tính diện tích của tứ giác AFHE. Diện tích tứ giác AFHE có thể được tính bằng công thức:

S = (1/2) |AD FE|.

Để diện tích đạt giá trị lớn nhất, độ cao từ A xuống EF cần phải lớn nhất. Điều này xảy ra khi điểm A nằm trên đường tròn nội tiếp. Ta cần xác định vị trí của A trên đường tròn sao cho đoạn thẳng AF vuông góc với EF. Khi đó, khoảng cách giữa điểm A và đường thẳng EF sẽ lớn nhất, tạo ra diện tích tứ giác AFHE lớn nhất có thể.