Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA = SB = SC = SD.Chứng minh rằng FA vuông góc AB và SO vuông góc AD. * Không chứng minh theo đường thẳng vuông góc mặt phẳng,tọa độ và vecto

Để chứng minh rằng FA vuông góc với AB và SO vuông góc với AD trong hình chóp SABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA = SB = SC = SD, ta sẽ sử dụng tính chất đối xứng của hình chóp và một số tính chất hình học cơ bản.

1. Tính chất đối xứng và hình vuông:
- Hình chóp SABCD có đáy là hình vuông ABCD với tâm O. Do đó, các điểm A, B, C, D nằm cách đều tâm O và tạo thành một hình vuông.
- Ta có các đoạn thẳng OA = OB = OC = OD (là khoảng cách từ tâm O đến các đỉnh của hình vuông).

2. Xác định điểm F:
- Giả sử điểm F là chân đường vuông góc hạ từ đỉnh S xuống mặt phẳng đáy ABCD (mặt phẳng chứa hình vuông ABCD) của hình chóp. Ta cần chứng minh rằng FA vuông góc với AB.

3. FA vuông góc với AB:
- Trong mặt phẳng chứa hình vuông ABCD, khi S là điểm nằm trên trục thẳng đứng từ O, và SA = SB = SC = SD, thì S sẽ nằm chính giữa không gian phía trên của hình vuông.
- Khi hạ một đường vuông góc từ S xuống mặt phẳng ABCD, điểm F sẽ là điểm nằm chính giữa giữa các đỉnh A, B, C, D do tính chất đối xứng.
- Trong mặt phẳng này, đoạn thẳng FA sẽ vuông góc với đoạn AB bởi vì trong một hình vuông, các đường chéo cắt nhau tại tâm và tạo ra các góc vuông, do đó FA cũng chính là phân giác của góc giữa AB và đường thẳng nối O với S.

4. SO vuông góc với AD:
- Tương tự, với đoạn thẳng SO, do SO là đoạn thẳng nối giữa S và O (tâm hình vuông) và O là điểm giữa của tất cả các đỉnh A, B, C, D. Đoạn thẳng AD cũng nằm trong mặt phẳng, chính vì vậy SO cũng sẽ vuông góc với AD.
- Điều này xảy ra bởi vì SO là một đường thẳng nằm trong phương của các cạnh AD và nối từ S cách đều các cạnh còn lại. Điều này chứng tỏ sự giao nhau giữa hình chiếu điểm S và đường AD tạo ra một góc vuông.

Kết luận: Từ các lập luận trên, ta có thể khẳng định rằng FA vuông góc với AB và SO vuông góc với AD trong hình chóp SABCD với các đặc điểm như đã nêu.