....................

Để tính giá trị biểu thức H, ta cần phân tích các biểu thức trong H dựa trên các điều kiện đã cho.

Giả sử \( \sqrt{a} = x, \sqrt{b} = y, \sqrt{c} = z \). Khi đó, điều kiện đầu vào trở thành:

1. \( x + y + z = 7 \)
2. \( x^2 + y^2 + z^2 = 23 \)
3. \( xyz = 3 \)

Từ điều kiện \( x + y + z = 7 \), ta có:

\[ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) \]
\[ 49 = 23 + 2(xy + yz + zx) \]
\[ 26 = 2(xy + yz + zx) \implies xy + yz + zx = 13 \]

Bây giờ chúng ta có ba hệ số: \( x+y+z = 7 \), \( xy + yz + zx = 13 \), và \( xyz = 3 \). Chúng ta có thể xem xét đa thức:

\[ t^3 - (x+y+z)t^2 + (xy+yz+zx)t - xyz = 0 \]
Thay vào các giá trị:

\[ t^3 - 7t^2 + 13t - 3 = 0 \]

Tiến hành giải phương trình này sẽ cho chúng ta các giá trị của \( x, y, z \). Ta có thể tìm nghiệm của nó bằng phương pháp thử nghiệm hay dùng máy tính. Giả sử ta tìm được các nghiệm \( x, y, z \).

Giả sử tìm được \( a = x^2, b = y^2, c = z^2 \).

Bây giờ chúng ta quay lại biểu thức H:

\[ H = \frac{1}{\sqrt{ab} + \sqrt{c}-6} + \frac{1}{\sqrt{bc} + \sqrt{a}-6} + \frac{1}{\sqrt{ca} + \sqrt{b}-6} \]

Chúng ta cần tính từng phần của H:

1. \( \sqrt{ab} = \sqrt{x^2 \cdot y^2} = xy \)
2. \( \sqrt{c} = z \)
3. Tương tự cho các phần còn lại.

Sau khi thay thế và tìm giá trị cho \( \sqrt{ab}, \sqrt{bc}, \sqrt{ca} \) và các giá trị liên quan, ta sẽ có giá trị cụ thể cho biểu thức H.

Cuối cùng, thay giá trị của \( H \) để có kết quả chính xác.

Kiểm tra lại từng trường hợp nếu cần thiết để xác nhận tính đúng đắn của các giá trị \( a, b, c \) cũng như điều kiện ban đầu để đảm bảo không có lỗi.

Cuối cùng, tính từng phần rồi tổng hợp lại để có giá trị cuối cùng cho H.