tìm các số nguyên tố p,q thỏa mãn p^2+ q^4=3pq+61

Để giải phương trình p^2 + q^4 = 3pq + 61, trước tiên chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình:

p^2 - 3pq + q^4 - 61 = 0.

Phương trình này là một phương trình bậc hai theo p. Để giải, chúng ta áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai. Dưới đây là hệ số của p trong phương trình:

a = 1, b = -3q, c = q^4 - 61.

Chúng ta có thể tính biệt thức D (Delta) của phương trình bậc hai này:

D = b^2 - 4ac = (-3q)^2 - 4(1)(q^4 - 61) = 9q^2 - 4(q^4 - 61) = 9q^2 - 4q^4 + 244.

Để p có nghiệm thực, chúng ta cần D ≥ 0:

9q^2 - 4q^4 + 244 ≥ 0.

Sắp xếp lại, ta có:

-4q^4 + 9q^2 + 244 ≥ 0.

Ta có thể thử nghiệm các giá trị nguyên tố của q để xem xét tính khả thi. Các số nguyên tố nhỏ là 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...

Bắt đầu với q = 2:

- Khi q = 2:
D = 9(2^2) - 4(2^4) + 244 = 36 - 64 + 244 = 216 (D > 0).

Nghiệm p sẽ là:
p = [3(2) ± √(216)] / 2 = [6 ± 14.7] / 2,
p = 10.35 hoặc p = -4.35 (không phải số nguyên tố).

Tiếp theo, với q = 3:

- Khi q = 3:
D = 9(3^2) - 4(3^4) + 244 = 81 - 324 + 244 = 1 (D = 0).

Nghiệm duy nhất là:
p = [3(3)] / 2 = 4.5 (cũng không là số nguyên tố).

Thử nghiệm với các số nguyên tố khác:

- Khi q = 5:
D = 9(5^2) - 4(5^4) + 244 = 225 - 2500 + 244 = -203 (D < 0).

Tiếp theo, với q = 7:

- Khi q = 7:
D = 9(7^2) - 4(7^4) + 244 = 441 - 9604 + 244 = -9187 (D < 0).

Từ các phép thử này, ta nhận thấy không có cặp số nguyên tố (p, q) nào thỏa mãn phương trình ban đầu.

Cuối cùng, ta có thể kết luận rằng không tồn tại các số nguyên tố p và q thỏa mãn phương trình p^2 + q^4 = 3pq + 61.